Theorem rnascl 19343

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	|- A = (algSc ` W )
rnascl.o	|- .1. = ( 1r ` W )
rnascl.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
rnascl	|- ( W e. AssAlg -> ran A = ( N ` { .1. } ) )

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 19319	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
2		assaring 19320	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		rnascl.o	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` W )
5	3, 4	ringidcl 18568	. . . 4 |- ( W e. Ring -> .1. e. ( Base ` W ) )
6	2, 5	syl 17	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> .1. e. ( Base ` W ) )
7		eqid 2622	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
10		rnascl.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 8, 3, 9, 10	lspsn 19002	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ .1. e. ( Base ` W ) ) -> ( N ` { .1. } ) = { x | E. y e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) x = ( y ( .s ` W ) .1. ) } )
12	1, 6, 11	syl2anc 693	. 2 |- ( W e. AssAlg -> ( N ` { .1. } ) = { x | E. y e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) x = ( y ( .s ` W ) .1. ) } )
13		rnascl.a	. . . 4 |- A = (algSc ` W )
14	13, 7, 8, 9, 4	asclfval 19334	. . 3 |- A = ( y e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) |-> ( y ( .s ` W ) .1. ) )
15	14	rnmpt 5371	. 2 |- ran A = { x | E. y e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) x = ( y ( .s ` W ) .1. ) }
16	12, 15	syl6reqr 2675	1 |- ( W e. AssAlg -> ran A = ( N ` { .1. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {csn 4177   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971  AssAlgcasa 19309  algSccascl 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-ascl 19314

This theorem is referenced by:  issubassa2  19345