Theorem lmod1zr 42282

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
lmod1zr.m	|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables a b i p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 |- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )
2		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. { <. Z , I >. } -> p = <. Z , I >. )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = <. Z , I >. -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
5		op2ndg 7181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
6	5	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
7		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. { I } )
9	6, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
11	4, 10	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
12	2, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p e. { <. Z , I >. } ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } )
15		opex 4932	. . . . . . . . . 10 |- <. Z , I >. e. _V
16		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. V )
17		fsng 6404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
19	14, 18	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } )
20		xpsng 6406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
21	20	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. Z , I >. } = ( { Z } X. { I } ) )
23	22	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
24	19, 23	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- i e. _V
27	25, 26	op2ndd 7179	. . . . . . . . 9 |- ( p = <. z , i >. -> ( 2nd ` p ) = i )
28	27	mpt2mpt 6752	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i )
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) )
30		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { Z } e. _V
31		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
32	31	rngbase 16001	. . . . . . . . 9 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` R ) )
33	30, 32	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { Z } = ( Base ` R ) )
34		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { I } = { I } )
35		mpt2eq12 6715	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } = ( Base ` R ) /\ { I } = { I } ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
37	24, 29, 36	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
38	37	opeq2d 4409	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. = <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. )
39	38	sneqd 4189	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } )
40	39	uneq2d 3767	. . 3 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
41	1, 40	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
42	31	ring1 18602	. . 3 |- ( Z e. W -> R e. Ring )
43		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> i = i )
44		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = b -> i = b )
45	43, 44	cbvmpt2v 6735	. . . . . . 7 |- ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) = ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b )
46	45	opeq2i 4406	. . . . . 6 |- <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. = <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >.
47	46	sneqi 4188	. . . . 5 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. }
48	47	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. } )
49	48	lmod1 42281	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
50	42, 49	sylan2 491	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
51	41, 50	eqeltrd 2701	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   2ndc2nd 7167   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Ringcrg 18547   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  lmodn0  42284  lvecpsslmod  42296