Theorem s4f1o 13663

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o	|- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) -> ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) -> ( E = <" A B C D "> -> E : dom E -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) ) ) )

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 13662	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) -> ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
2	1	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
4		s4prop 13655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) -> <" A B C D "> = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) -> <" A B C D "> = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) -> ( E = <" A B C D "> <-> E = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) )
7	6	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> E = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) )
8	7	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) = E )
9		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) )
10		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> ( { A , B } u. { C , D } ) = ( { A , B } u. { C , D } ) )
11	8, 9, 10	f1oeq123d 6133	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) <-> E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
12	3, 11	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
13		dff1o5 6146	. . . . . . 7 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) <-> ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
14		dff12 6100	. . . . . . . . 9 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) <-> ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) )
15	14	bicomi 214	. . . . . . . 8 |- ( ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) <-> E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
16	15	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) <-> ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
17	13, 16	sylbb2 228	. . . . . 6 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) -> ( ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
18		ffdm 6062	. . . . . . . . 9 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) -> ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ dom E C_ ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) ) )
19	18	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) -> E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) )
20	19	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) -> ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) )
21	20	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) -> ( ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
22	17, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) -> ( ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
23		dff12 6100	. . . . . 6 |- ( E : dom E -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) <-> ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) )
24	23	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( E : dom E -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) <-> ( ( E : dom E --> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ A. y E* x x E y ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
25	22, 24	sylibr 224	. . . 4 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) -> ( E : dom E -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
26		dff1o5 6146	. . . 4 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) <-> ( E : dom E -1-1-> ( { A , B } u. { C , D } ) /\ ran E = ( { A , B } u. { C , D } ) ) )
27	25, 26	sylibr 224	. . 3 |- ( E : ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) -> E : dom E -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
28	12, 27	syl 17	. 2 |- ( ( ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) ) /\ E = <" A B C D "> ) -> E : dom E -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) )
29	28	exp31 630	1 |- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( C e. S /\ D e. S ) ) -> ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) -> ( E = <" A B C D "> -> E : dom E -1-1-onto-> ( { A , B } u. { C , D } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   u. cun 3572   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   <"cs4 13588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  26151  usgrexmpledg  26154