Theorem usgrexmpledg 26154

Description: The edges { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 0 } , { 0 , 3 } of the graph G = <. V , E >.. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl.v	|- V = ( 0 ... 4 )
usgrexmpl.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 0 } { 0 , 3 } ">
usgrexmpl.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpledg	|- (Edg ` G ) = ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } )

Proof of Theorem usgrexmpledg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 25941	. 2 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )
2		usgrexmpl.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 4 )
3		usgrexmpl.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 0 } { 0 , 3 } ">
4		usgrexmpl.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
5	2, 3, 4	usgrexmpllem 26152	. . . 4 |- ( (Vtx ` G ) = V /\ (iEdg ` G ) = E )
6	5	simpri 478	. . 3 |- (iEdg ` G ) = E
7	6	rneqi 5352	. 2 |- ran (iEdg ` G ) = ran E
8		prex 4909	. . . . . . 7 |- { 0 , 1 } e. _V
9		prex 4909	. . . . . . 7 |- { 1 , 2 } e. _V
10	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V )
11		prex 4909	. . . . . . 7 |- { 2 , 0 } e. _V
12		prex 4909	. . . . . . 7 |- { 0 , 3 } e. _V
13	11, 12	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V )
14	10, 13	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V ) /\ ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) )
15		usgrexmpldifpr 26150	. . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } =/= { 1 , 2 } /\ { 0 , 1 } =/= { 2 , 0 } /\ { 0 , 1 } =/= { 0 , 3 } ) /\ ( { 1 , 2 } =/= { 2 , 0 } /\ { 1 , 2 } =/= { 0 , 3 } /\ { 2 , 0 } =/= { 0 , 3 } ) )
16	14, 15	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V ) /\ ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) ) /\ ( ( { 0 , 1 } =/= { 1 , 2 } /\ { 0 , 1 } =/= { 2 , 0 } /\ { 0 , 1 } =/= { 0 , 3 } ) /\ ( { 1 , 2 } =/= { 2 , 0 } /\ { 1 , 2 } =/= { 0 , 3 } /\ { 2 , 0 } =/= { 0 , 3 } ) ) )
17	16, 3	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V ) /\ ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) ) /\ ( ( { 0 , 1 } =/= { 1 , 2 } /\ { 0 , 1 } =/= { 2 , 0 } /\ { 0 , 1 } =/= { 0 , 3 } ) /\ ( { 1 , 2 } =/= { 2 , 0 } /\ { 1 , 2 } =/= { 0 , 3 } /\ { 2 , 0 } =/= { 0 , 3 } ) ) ) /\ E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 0 } { 0 , 3 } "> )
18		s4f1o 13663	. . . 4 |- ( ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V ) /\ ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) ) -> ( ( ( { 0 , 1 } =/= { 1 , 2 } /\ { 0 , 1 } =/= { 2 , 0 } /\ { 0 , 1 } =/= { 0 , 3 } ) /\ ( { 1 , 2 } =/= { 2 , 0 } /\ { 1 , 2 } =/= { 0 , 3 } /\ { 2 , 0 } =/= { 0 , 3 } ) ) -> ( E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 0 } { 0 , 3 } "> -> E : dom E -1-1-onto-> ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) ) ) )
19	18	imp31 448	. . 3 |- ( ( ( ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 1 , 2 } e. _V ) /\ ( { 2 , 0 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) ) /\ ( ( { 0 , 1 } =/= { 1 , 2 } /\ { 0 , 1 } =/= { 2 , 0 } /\ { 0 , 1 } =/= { 0 , 3 } ) /\ ( { 1 , 2 } =/= { 2 , 0 } /\ { 1 , 2 } =/= { 0 , 3 } /\ { 2 , 0 } =/= { 0 , 3 } ) ) ) /\ E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 0 } { 0 , 3 } "> ) -> E : dom E -1-1-onto-> ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) )
20		dff1o5 6146	. . . 4 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) <-> ( E : dom E -1-1-> ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) /\ ran E = ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) ) )
21	20	simprbi 480	. . 3 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) -> ran E = ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } ) )
22	17, 19, 21	mp2b 10	. 2 |- ran E = ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } )
23	1, 7, 22	3eqtri 2648	1 |- (Edg ` G ) = ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } u. { { 2 , 0 } , { 0 , 3 } } )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   ran crn 5115   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   ...cfz 12326   <"cs4 13588  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940

This theorem is referenced by: (None)