MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cnfcom 8597
Description: Any ordinal B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s |- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a |- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.1 |- ( ph -> I e. dom G )
Assertion
Ref Expression
cnfcom |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, k, z, A   k, I, x, z   x, M   f, k, x, z, F   z, T   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z
Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, k)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   I( f)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)
Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2 |- ( ph -> I e. dom G )
2 cnfcom.s . . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
3 omelon 8543 . . . . . . 7 |- om e. On
43a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> om e. On )
5 cnfcom.a . . . . . 6 |- ( ph -> A e. On )
6 cnfcom.g . . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
7 cnfcom.f . . . . . . 7 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
82, 4, 5cantnff1o 8593 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
9 f1ocnv 6149 . . . . . . . . 9 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 6137 . . . . . . . . 9 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
1311, 12ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
147, 13syl5eqel 2705 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. S )
152, 4, 5, 6, 14cantnfcl 8564 . . . . 5 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
1615simprd 479 . . . 4 |- ( ph -> dom G e. om )
17 elnn 7075 . . . 4 |- ( ( I e. dom G /\ dom G e. om ) -> I e. om )
181, 16, 17syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> I e. om )
19 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( w = I -> ( w e. dom G <-> I e. dom G ) )
20 suceq 5790 . . . . . . . 8 |- ( w = I -> suc w = suc I )
2120fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = I -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc I ) )
2220fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = I -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc I ) )
23 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( w = I -> ( G ` w ) = ( G ` I ) )
2423oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` I ) ) )
2523fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` I ) ) )
2624, 25oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = I -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
2721, 22, 26f1oeq123d 6133 . . . . . 6 |- ( w = I -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
2819, 27imbi12d 334 . . . . 5 |- ( w = I -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
2928imbi2d 330 . . . 4 |- ( w = I -> ( ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) ) )
30 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w e. dom G <-> (/) e. dom G ) )
31 suceq 5790 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
3231fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc (/) ) )
3331fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc (/) ) )
34 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( G ` w ) = ( G ` (/) ) )
3534oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
3634fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` (/) ) ) )
3735, 36oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
3832, 33, 37f1oeq123d 6133 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
3930, 38imbi12d 334 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) ) )
40 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. dom G <-> y e. dom G ) )
41 suceq 5790 . . . . . . . 8 |- ( w = y -> suc w = suc y )
4241fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc y ) )
4341fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc y ) )
44 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
4544oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` y ) ) )
4644fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
4745, 46oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
4842, 43, 47f1oeq123d 6133 . . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
4940, 48imbi12d 334 . . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) )
50 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( w e. dom G <-> suc y e. dom G ) )
51 suceq 5790 . . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> suc w = suc suc y )
5251fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc suc y ) )
5351fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc suc y ) )
54 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( w = suc y -> ( G ` w ) = ( G ` suc y ) )
5554oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
5654fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` suc y ) ) )
5755, 56oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
5852, 53, 57f1oeq123d 6133 . . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) )
5950, 58imbi12d 334 . . . . 5 |- ( w = suc y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
605adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> A e. On )
6112adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> B e. ( om ^o A ) )
62 cnfcom.h . . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
63 cnfcom.t . . . . . . 7 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
64 cnfcom.m . . . . . . 7 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
65 cnfcom.k . . . . . . 7 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
66 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. dom G )
673a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> om e. On )
68 suppssdm 7308 . . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
692, 4, 5cantnfs 8563 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
7014, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
7170simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> om )
72 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = A )
7468, 73syl5sseq 3653 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
75 onss 6990 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
765, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ On )
7774, 76sstrd 3613 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
786oif 8435 . . . . . . . . . 10 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
7978ffvelrni 6358 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) )
80 ssel2 3598 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F supp (/) ) C_ On /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. On )
8177, 79, 80syl2an 494 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. On )
82 peano1 7085 . . . . . . . . 9 |- (/) e. om
8382a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. om )
84 oen0 7666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
8567, 81, 83, 84syl21anc 1325 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
86 0ex 4790 . . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
8763seqom0g 7551 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V -> ( T ` (/) ) = (/) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( T ` (/) ) = (/)
89 f1o0 6173 . . . . . . . . . 10 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
9062seqom0g 7551 . . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
91 f1oeq2 6128 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` (/) ) = (/) -> ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
9286, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
9389, 92mpbir 221 . . . . . . . . 9 |- (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/)
94 f1oeq1 6127 . . . . . . . . 9 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
9593, 94mpbiri 248 . . . . . . . 8 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
9688, 95mp1i 13 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
972, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96cnfcomlem 8596 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
9897ex 450 . . . . 5 |- ( ph -> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
996oicl 8434 . . . . . . . . . 10 |- Ord dom G
100 ordtr 5737 . . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom G -> Tr dom G )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- Tr dom G
102 trsuc 5810 . . . . . . . . 9 |- ( ( Tr dom G /\ suc y e. dom G ) -> y e. dom G )
103101, 102mpan 706 . . . . . . . 8 |- ( suc y e. dom G -> y e. dom G )
104103imim1i 63 . . . . . . 7 |- ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
1055ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A e. On )
10612ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> B e. ( om ^o A ) )
107 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc y e. dom G )
10876ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A C_ On )
10974ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ A )
11078ffvelrni 6358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc y e. dom G -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
111110ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
112109, 111sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. A )
113108, 112sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. On )
114 eloni 5733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` suc y ) e. On -> Ord ( G ` suc y ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> Ord ( G ` suc y ) )
116 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
117116sucid 5804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. suc y
1185, 74ssexd 4805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
11915simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
1206oiiso 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
121118, 119, 120syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
122121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
123103ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> y e. dom G )
124 isorel 6576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ suc y e. dom G ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
125122, 123, 107, 124syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
126116sucex 7011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc y e. _V
127126epelc 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y _E suc y <-> y e. suc y )
128 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ` suc y ) e. _V
129128epelc 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
130125, 127, 1293bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y e. suc y <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) ) )
131117, 130mpbii 223 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
132 ordsucss 7018 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord ( G ` suc y ) -> ( ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) )
133115, 131, 132sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) )
13478ffvelrni 6358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
135123, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
136109, 135sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. A )
137108, 136sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. On )
138 suceloni 7013 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` y ) e. On -> suc ( G ` y ) e. On )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) e. On )
1403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> om e. On )
14182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. om )
142 oewordi 7671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( suc ( G ` y ) e. On /\ ( G ` suc y ) e. On /\ om e. On ) /\ (/) e. om ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
143139, 113, 140, 141, 142syl31anc 1329 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
144133, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
14571ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> F : A --> om )
146145, 136ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. om )
147 nnon 7071 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
149 oecl 7617 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
150140, 137, 149syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
151 oen0 7666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
152140, 137, 141, 151syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
153 omord2 7647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` ( G ` y ) ) e. On /\ om e. On /\ ( om ^o ( G ` y ) ) e. On ) /\ (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
154148, 140, 150, 152, 153syl31anc 1329 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
155146, 154mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
156 oesuc 7607 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
157140, 137, 156syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
158155, 157eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o suc ( G ` y ) ) )
159144, 158sseldd 3604 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
160 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
1612, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160cnfcomlem 8596 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
162161exp32 631 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( suc y e. dom G -> ( ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
163162a2d 29 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
164104, 163syl5 34 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
165164expcom 451 . . . . 5 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) ) )
16639, 49, 59, 98, 165finds2 7094 . . . 4 |- ( w e. om -> ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) )
16729, 166vtoclga 3272 . . 3 |- ( I e. om -> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
16818, 167mpcom 38 . 2 |- ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
1691, 168mpd 15 1 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Tr wtr 4752   _E cep 5028   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559
This theorem is referenced by:  cnfcom2  8599
  Copyright terms: Public domain W3C validator