Theorem cantnfval2 8566

Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfcl.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cantnfcl.f	|- ( ph -> F e. S )
cantnfval.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )

Assertion

Ref	Expression
cantnfval2	|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) )

Distinct variable groups:   z, k, B   A, k, z   k, F, z   S, k, z   k, G, z   ph, k, z

Allowed substitution hints:   H( z, k)

Proof of Theorem cantnfval2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
2		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		cantnfs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. On )
4		cantnfcl.g	. . 3 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
5		cantnfcl.f	. . 3 |- ( ph -> F e. S )
6		cantnfval.h	. . 3 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 8565	. 2 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( H ` dom G ) )
8		ssid 3624	. . 3 |- dom G C_ dom G
9	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 8564	. . . . 5 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
10	9	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> dom G e. om )
11		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> ( u C_ dom G <-> (/) C_ dom G ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> ( H ` u ) = ( H ` (/) ) )
13		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
14	6	seqom0g 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( H ` (/) ) = (/)
16	12, 15	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( H ` u ) = (/) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
19	18	seqom0g 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/) )
20	13, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
21	17, 20	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (/) )
22	16, 21	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> ( ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> (/) = (/) ) )
23	11, 22	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) ) ) )
25		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( u = v -> ( u C_ dom G <-> v C_ dom G ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = v -> ( H ` u ) = ( H ` v ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = v -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) )
28	26, 27	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( u = v -> ( ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
29	25, 28	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) )
30	29	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) ) )
31		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( u = suc v -> ( u C_ dom G <-> suc v C_ dom G ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = suc v -> ( H ` u ) = ( H ` suc v ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = suc v -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) )
34	32, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( u = suc v -> ( ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) )
35	31, 34	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( u = suc v -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) )
36	35	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( u = suc v -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) )
37		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( u = dom G -> ( u C_ dom G <-> dom G C_ dom G ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = dom G -> ( H ` u ) = ( H ` dom G ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = dom G -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) )
40	38, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( u = dom G -> ( ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) )
41	37, 40	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( u = dom G -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) )
42	41	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( u = dom G -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) ) )
43		eqid 2622	. . . . . 6 |- (/) = (/)
44	43	2a1i 12	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) )
45		sssucid 5802	. . . . . . . . . 10 |- v C_ suc v
46		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v C_ suc v /\ suc v C_ dom G ) -> v C_ dom G )
47	45, 46	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( suc v C_ dom G -> v C_ dom G )
48	47	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
49		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
50	6	seqomsuc 7552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. om -> ( H ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) )
51	50	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( H ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) )
52	18	seqomsuc 7552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. om -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
53	52	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
54		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom G C_ _V
55		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- On C_ _V
56		resmpt2 6758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom G C_ _V /\ On C_ _V ) -> ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) = ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) )
57	54, 55, 56	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) = ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) )
58	57	oveqi 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) )
59		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> suc v C_ dom G )
60		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- v e. _V
61	60	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. suc v
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> v e. suc v )
63	59, 62	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> v e. dom G )
64	18	cantnfvalf 8562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) : om --> On
65	64	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. om -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On )
66	65	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On )
67		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. dom G /\ (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On ) -> ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
68	63, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
69	58, 68	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
70	53, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) )
71	51, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) <-> ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) )
72	49, 71	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) )
73	72	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. om ) -> ( suc v C_ dom G -> ( ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) )
74	73	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. om ) -> ( ( suc v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) )
75	48, 74	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. om ) -> ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) )
76	75	expcom 451	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( ph -> ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) )
77	76	a2d 29	. . . . 5 |- ( v e. om -> ( ( ph -> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) -> ( ph -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) )
78	24, 30, 36, 42, 44, 77	finds 7092	. . . 4 |- ( dom G e. om -> ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) )
79	10, 78	mpcom 38	. . 3 |- ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) )
80	8, 79	mpi 20	. 2 |- ( ph -> ( H ` dom G ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) )
81	7, 80	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   _E cep 5028   We wwe 5072   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnfres  8574