Theorem smatbl 29866

Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	|- S = ( K (subMat1 ` A ) L )
smat.m	|- ( ph -> M e. NN )
smat.n	|- ( ph -> N e. NN )
smat.k	|- ( ph -> K e. ( 1 ... M ) )
smat.l	|- ( ph -> L e. ( 1 ... N ) )
smat.a	|- ( ph -> A e. ( B ^m ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
smatbl.i	|- ( ph -> I e. ( 1..^ K ) )
smatbl.j	|- ( ph -> J e. ( L ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
smatbl	|- ( ph -> ( I S J ) = ( I A ( J + 1 ) ) )

Proof of Theorem smatbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 |- S = ( K (subMat1 ` A ) L )
2		smat.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
3		smat.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		smat.k	. 2 |- ( ph -> K e. ( 1 ... M ) )
5		smat.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( 1 ... N ) )
6		smat.a	. 2 |- ( ph -> A e. ( B ^m ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
7		fzossnn 12516	. . 3 |- ( 1..^ K ) C_ NN
8		smatbl.i	. . 3 |- ( ph -> I e. ( 1..^ K ) )
9	7, 8	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> I e. NN )
10		fz1ssnn 12372	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ NN
11	10, 5	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> L e. NN )
12		fzssnn 12385	. . . 4 |- ( L e. NN -> ( L ... N ) C_ NN )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( L ... N ) C_ NN )
14		smatbl.j	. . 3 |- ( ph -> J e. ( L ... N ) )
15	13, 14	sseldd 3604	. 2 |- ( ph -> J e. NN )
16		elfzolt2 12479	. . . 4 |- ( I e. ( 1..^ K ) -> I < K )
17	8, 16	syl 17	. . 3 |- ( ph -> I < K )
18	17	iftrued 4094	. 2 |- ( ph -> if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) = I )
19		elfzle1 12344	. . . . 5 |- ( J e. ( L ... N ) -> L <_ J )
20	14, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> L <_ J )
21	11	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
22	15	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> J e. RR )
23	21, 22	lenltd 10183	. . . 4 |- ( ph -> ( L <_ J <-> -. J < L ) )
24	20, 23	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> -. J < L )
25	24	iffalsed 4097	. 2 |- ( ph -> if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) = ( J + 1 ) )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25	smatlem 29863	1 |- ( ph -> ( I S J ) = ( I A ( J + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  subMat1csmat 29859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-smat 29860

This theorem is referenced by:  submateq  29875