Theorem submateq 29875

Description: Sufficient condition for two submatrices to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
submateq.b	|- B = ( Base ` A )
submateq.n	|- ( ph -> N e. NN )
submateq.i	|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
submateq.j	|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
submateq.e	|- ( ph -> E e. B )
submateq.f	|- ( ph -> F e. B )
submateq.1	|- ( ( ph /\ i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) )

Assertion

Ref	Expression
submateq	|- ( ph -> ( I (subMat1 ` E ) J ) = ( I (subMat1 ` F ) J ) )

Distinct variable groups:   i, E, j   i, F, j   i, I, j   i, J, j   i, N, j   ph, i, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   B( i, j)   R( i, j)

Proof of Theorem submateq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
2		submateq.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> N e. NN )
4		submateq.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I e. ( 1 ... N ) )
6		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
7		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I <_ x )
8	3, 5, 6, 7	submateqlem1 29873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x e. ( I ... N ) /\ ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
9	8	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
10	1, 9	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
12		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
13	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
14		submateq.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
16		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J <_ y )
18	13, 15, 16, 17	submateqlem1 29873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y e. ( J ... N ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
19	18	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
20	12, 19	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
22	11, 21	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
23		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x + 1 ) e. _V )
24		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y + 1 ) e. _V )
25		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = ( x + 1 ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
29	26, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
30		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) )
31		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
32	30, 31	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
33	29, 32	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) )
34		submateq.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) )
35	34	3expib 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) )
36	23, 24, 33, 35	vtocl2d 29314	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
37	36	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
38	22, 37	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
39		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( I (subMat1 ` E ) J ) = ( I (subMat1 ` E ) J )
40	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
41	4	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) )
42	14	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
43		submateq.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. B )
44		submateq.a	. . . . . . . . . 10 |- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
46		submateq.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` A )
47	44, 45, 46	matbas2i 20228	. . . . . . . . 9 |- ( E e. B -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
49	48	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
50	8	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) )
51	1, 50	syldanl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> x e. ( I ... N ) )
53	18	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
54	12, 53	syldanl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
55	54	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
56	39, 40, 40, 41, 42, 49, 52, 55	smatbr 29867	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) )
57		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( I (subMat1 ` F ) J ) = ( I (subMat1 ` F ) J )
58		submateq.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. B )
59	44, 45, 46	matbas2i 20228	. . . . . . . . 9 |- ( F e. B -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
61	60	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
62	57, 40, 40, 41, 42, 61, 52, 55	smatbr 29867	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
63	38, 56, 62	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
64	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
65	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> N e. NN )
66	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
67		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y < J )
69	65, 66, 67, 68	submateqlem2 29874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> ( y e. ( 1..^ J ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
70	69	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
71	12, 70	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
72	71	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
73	64, 72	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
74		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> y e. _V )
76		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> i = ( x + 1 ) )
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> j = y )
79		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( 1 ... N ) \ { J } ) = ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
80	78, 79	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
81	77, 80	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
82		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E y ) )
83		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
84	82, 83	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
85	81, 84	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) )
86	23, 75, 85, 35	vtocl2d 29314	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
87	86	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
88	73, 87	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
89	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> N e. NN )
90	4	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) )
91	14	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
92	48	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
93	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> x e. ( I ... N ) )
94	69	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1..^ J ) )
95	12, 94	syldanl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1..^ J ) )
96	95	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( 1..^ J ) )
97	39, 89, 89, 90, 91, 92, 93, 96	smattr 29865	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E y ) )
98	60	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
99	57, 89, 89, 90, 91, 98, 93, 96	smattr 29865	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
100	88, 97, 99	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
101		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... N ) C_ NN
102	101, 14	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. NN )
103	102	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. RR )
104	103	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> J e. RR )
105		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN
106	105, 12	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. NN )
107	106	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
108		lelttric 10144	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ y e. RR ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
109	104, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
110	109	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
111	63, 100, 110	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
112	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> N e. NN )
113	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> I e. ( 1 ... N ) )
114		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x < I )
116	112, 113, 114, 115	submateqlem2 29874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> ( x e. ( 1..^ I ) /\ x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
117	116	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
118	1, 117	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
119	118	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
120	20	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
121	119, 120	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
122		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x e. _V )
124		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = x )
125	124	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) )
127	126	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
128	125, 127	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
129		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( x E ( y + 1 ) ) )
130		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
131	129, 130	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
132	128, 131	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) )
133	123, 24, 132, 35	vtocl2d 29314	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
134	133	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
135	121, 134	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
136	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
137	4	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) )
138	14	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
139	48	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
140	116	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1..^ I ) )
141	1, 140	syldanl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1..^ I ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( 1..^ I ) )
143	54	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
144	39, 136, 136, 137, 138, 139, 142, 143	smatbl 29866	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E ( y + 1 ) ) )
145	60	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
146	57, 136, 136, 137, 138, 145, 142, 143	smatbl 29866	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
147	135, 144, 146	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
148	118	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
149	71	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
150	148, 149	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
151		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> i = x )
152	151	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> j = y )
154	153	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
155	152, 154	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
156		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( x E y ) )
157		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( x F y ) )
158	156, 157	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
159	155, 158	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) )
160	123, 75, 159, 35	vtocl2d 29314	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
161	160	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
162	150, 161	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x E y ) = ( x F y ) )
163	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> N e. NN )
164	4	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) )
165	14	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
166	48	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
167	141	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( 1..^ I ) )
168	95	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( 1..^ J ) )
169	39, 163, 163, 164, 165, 166, 167, 168	smattl 29864	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E y ) )
170	60	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
171	57, 163, 163, 164, 165, 170, 167, 168	smattl 29864	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F y ) )
172	162, 169, 171	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
173	109	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
174	147, 172, 173	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
175	101, 4	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. NN )
176	175	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. RR )
177	176	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> I e. RR )
178	105, 1	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. NN )
179	178	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
180		lelttric 10144	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ x e. RR ) -> ( I <_ x \/ x < I ) )
181	177, 179, 180	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( I <_ x \/ x < I ) )
182	111, 174, 181	mpjaodan 827	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
183	182	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) )
184		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) = ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) )
185	44, 46, 184, 39, 2, 4, 14, 43	smatcl 29868	. . 3 |- ( ph -> ( I (subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) )
186	44, 46, 184, 57, 2, 4, 14, 58	smatcl 29868	. . 3 |- ( ph -> ( I (subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) )
187		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R )
188	187, 184	eqmat 20230	. . 3 |- ( ( ( I (subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) /\ ( I (subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) ) -> ( ( I (subMat1 ` E ) J ) = ( I (subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) ) )
189	185, 186, 188	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( I (subMat1 ` E ) J ) = ( I (subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I (subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I (subMat1 ` F ) J ) y ) ) )
190	183, 189	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( I (subMat1 ` E ) J ) = ( I (subMat1 ` F ) J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   Mat cmat 20213  subMat1csmat 29859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-smat 29860

This theorem is referenced by:  submatminr1  29876