Theorem srgpcompp 18533

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	|- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomp.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	srgmgp 18510	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
4	1, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		srgpcompp.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		srgpcomp.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
7		srgpcomp.s	. . . . . 6 |- S = ( Base ` R )
8	2, 7	mgpbas 18495	. . . . 5 |- S = ( Base ` G )
9		srgpcomp.e	. . . . 5 |- .^ = (.g ` G )
10	8, 9	mulgnn0cl 17558	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. S ) -> ( N .^ A ) e. S )
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
12		srgpcomp.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. NN0 )
13		srgpcomp.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
14	8, 9	mulgnn0cl 17558	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. S ) -> ( K .^ B ) e. S )
15	4, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
16		srgpcomp.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
17	7, 16	srgass 18513	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
18	1, 11, 15, 6, 17	syl13anc 1328	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
19		srgpcomp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
20	7, 16, 2, 9, 1, 6, 13, 12, 19	srgpcomp 18532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
21	20	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
22	7, 16	srgass 18513	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ A e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
23	1, 11, 6, 15, 22	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
24	21, 23	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) )
25	2, 16	mgpplusg 18493	. . . . . 6 |- .X. = ( +g ` G )
26	8, 9, 25	mulgnn0p1 17552	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) .X. A ) )
27	4, 5, 6, 26	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) .X. A ) )
28	27	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N + 1 ) .^ A ) )
29	28	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
30	18, 24, 29	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  18534