Theorem srgpcomp 18532

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	|- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
2		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( 0 .^ B ) .X. A ) )
4	2	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) )
7		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .^ B ) = ( y .^ B ) )
8	7	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. A ) )
9	7	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) ) )
12		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
13	12	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) )
14	12	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( x .^ B ) = ( K .^ B ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( K .^ B ) .X. A ) )
19	17	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = K -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = K -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = K -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) ) )
22		srgpcomp.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. S )
23		srgpcomp.g	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` R )
24		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 |- S = ( Base ` R )
25	23, 24	mgpbas 18495	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` G )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
27	23, 26	ringidval 18503	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 0g ` G )
28		srgpcomp.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` G )
29	25, 27, 28	mulg0 17546	. . . . . 6 |- ( B e. S -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
30	22, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
31	30	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( ( 1r ` R ) .X. A ) )
32		srgpcomp.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. SRing )
33		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
34		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
35	24, 34, 26	srgridm 18522	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
36	32, 33, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
37	30	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 0 .^ B ) ) = ( A .X. ( 1r ` R ) ) )
38	24, 34, 26	srglidm 18521	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
39	32, 33, 38	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
40	36, 37, 39	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
41	31, 40	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
42	23	srgmgp 18510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Mnd )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
46	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. S )
47	23, 34	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( +g ` G )
48	25, 28, 47	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
49	44, 45, 46, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) )
51		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
55	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> R e. SRing )
56	25, 28	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. S ) -> ( y .^ B ) e. S )
57	44, 45, 46, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. S )
58	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> A e. S )
59	24, 34	srgass 18513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ B e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
60	55, 57, 46, 58, 59	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
61	24, 34	srgass 18513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
62	55, 57, 58, 46, 61	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
63	54, 60, 62	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
64	50, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
66		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) )
67	24, 34	srgass 18513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ ( y .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
68	55, 58, 57, 46, 67	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
69	49	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
72	66, 71	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
73	65, 72	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
74	73	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
75	74	expcom 451	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( ph -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
76	75	a2d 29	. . 3 |- ( y e. NN0 -> ( ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
77	6, 11, 16, 21, 41, 76	nn0ind 11472	. 2 |- ( K e. NN0 -> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
78	1, 77	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgpcompp  18533  mplcoe5lem  19467