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Theorem ssfzoulel 12562
Description: If a half-open integer range is a subset of a half-open range of nonnegative integers, but its lower bound is greater than or equal to the upper bound of the containing range, or its upper bound is less than or equal to 0, then its upper bound is less than or equal to its lower bound (and therefore it is actually empty). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzoulel |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N <_ A \/ B <_ 0 ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> B <_ A ) ) )
Proof of Theorem ssfzoulel
StepHypRef Expression
1 simpl2 1065 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> A e. ZZ )
2 simpl3 1066 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> B e. ZZ )
3 zre 11381 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 11381 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltnle 10117 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
763adant1 1079 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
87biimpar 502 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> A < B )
9 ssfzo12 12561 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> ( 0 <_ A /\ B <_ N ) ) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> ( 0 <_ A /\ B <_ N ) ) )
114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
12 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
14 letr 10131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ 0 /\ 0 <_ A ) -> B <_ A ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ 0 /\ 0 <_ A ) -> B <_ A ) )
1615expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( B <_ 0 -> B <_ A ) ) )
1716imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 0 <_ A ) -> ( B <_ 0 -> B <_ A ) )
1817con3d 148 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 0 <_ A ) -> ( -. B <_ A -> -. B <_ 0 ) )
1918ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( -. B <_ A -> -. B <_ 0 ) ) )
20193adant1 1079 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( -. B <_ A -> -. B <_ 0 ) ) )
2120com23 86 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B <_ A -> ( 0 <_ A -> -. B <_ 0 ) ) )
2221imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( 0 <_ A -> -. B <_ 0 ) )
23 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
244, 23, 33anim123i 1247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( B e. RR /\ N e. RR /\ A e. RR ) )
25243coml 1272 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. RR /\ N e. RR /\ A e. RR ) )
26 letr 10131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ N e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ N /\ N <_ A ) -> B <_ A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ N /\ N <_ A ) -> B <_ A ) )
2827expdimp 453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B <_ N ) -> ( N <_ A -> B <_ A ) )
2928con3d 148 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B <_ N ) -> ( -. B <_ A -> -. N <_ A ) )
3029impancom 456 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( B <_ N -> -. N <_ A ) )
3122, 30anim12d 586 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ N ) -> ( -. B <_ 0 /\ -. N <_ A ) ) )
32 ioran 511 . . . . . . . 8 |- ( -. ( N <_ A \/ B <_ 0 ) <-> ( -. N <_ A /\ -. B <_ 0 ) )
33 ancom 466 . . . . . . . 8 |- ( ( -. N <_ A /\ -. B <_ 0 ) <-> ( -. B <_ 0 /\ -. N <_ A ) )
3432, 33bitri 264 . . . . . . 7 |- ( -. ( N <_ A \/ B <_ 0 ) <-> ( -. B <_ 0 /\ -. N <_ A ) )
3531, 34syl6ibr 242 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ N ) -> -. ( N <_ A \/ B <_ 0 ) ) )
3610, 35syld 47 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> -. ( N <_ A \/ B <_ 0 ) ) )
3736con2d 129 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. B <_ A ) -> ( ( N <_ A \/ B <_ 0 ) -> -. ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) ) )
3837impancom 456 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N <_ A \/ B <_ 0 ) ) -> ( -. B <_ A -> -. ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) ) )
3938con4d 114 . 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N <_ A \/ B <_ 0 ) ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> B <_ A ) )
4039ex 450 1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N <_ A \/ B <_ 0 ) -> ( ( A..^ B ) C_ ( 0..^ N ) -> B <_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  swrdnd2  13433
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