Theorem ssfzo12bi 12563

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	|- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) <-> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) )
2	1	biimpri 218	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
3	2	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
4		ssfzo12 12561	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
6		elfzo2 12473	. . . . . 6 |- ( x e. ( K..^ L ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) )
7		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
8		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M e. ZZ )
10		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> x e. ZZ )
11		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. RR )
15		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> K e. RR )
19		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> x e. RR )
21		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M <_ x )
24	9, 10, 23	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
25	24	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
27	26	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ x -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
28	27	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
30	29	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
33	32	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
37		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
39		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> N e. ZZ )
41	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
42		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
43	42	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> L e. RR )
44		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
48		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
49	41, 43, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x e. ZZ -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
52	51	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
53	52	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( L <_ N -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
54	53	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
56	55	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) )
59	58	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x < N )
60		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M..^ N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ x < N ) )
61	38, 40, 59, 60	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
62	61	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
63	62	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
64	7, 63	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
65	64	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
66	65	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
67	6, 66	sylbi 207	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
68	67	com12 32	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x e. ( K..^ L ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
69	68	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) )
70	69	ex 450	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) ) )
71	5, 70	impbid 202	1 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  swrdnd  13432  repswswrd  13531  iccpartgt  41363