Theorem eengstr 25860

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	|- ( N e. NN -> (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. )

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables i x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 25859	. 2 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
2		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
3		basendx 15923	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		2nn0 11309	. . . . 5 |- 2 e. NN0
5		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
6		1lt10 11681	. . . . 5 |- 1 < ; 1 0
7	2, 4, 5, 6	declti 11546	. . . 4 |- 1 < ; 1 2
8		2nn 11185	. . . . 5 |- 2 e. NN
9	5, 8	decnncl 11518	. . . 4 |- ; 1 2 e. NN
10		dsndx 16062	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 15974	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } Struct <. 1 , ; 1 2 >.
12		6nn 11189	. . . . 5 |- 6 e. NN
13	5, 12	decnncl 11518	. . . 4 |- ; 1 6 e. NN
14		itvndx 25339	. . . 4 |- (Itv ` ndx ) = ; 1 6
15		6nn0 11313	. . . . 5 |- 6 e. NN0
16		7nn 11190	. . . . 5 |- 7 e. NN
17		6lt7 11209	. . . . 5 |- 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 11530	. . . 4 |- ; 1 6 < ; 1 7
19	5, 16	decnncl 11518	. . . 4 |- ; 1 7 e. NN
20		lngndx 25340	. . . 4 |- (LineG ` ndx ) = ; 1 7
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 15974	. . 3 |- { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } Struct <.; 1 6 , ; 1 7 >.
22		2lt6 11207	. . . 4 |- 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 11530	. . 3 |- ; 1 2 < ; 1 6
24	11, 21, 23	strleun 15972	. 2 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) Struct <. 1 , ; 1 7 >.
25	1, 24	syl6eqbr 4692	1 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 1036   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   6c6 11074   7c7 11075  ;cdc 11493   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   Struct cstr 15853   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   distcds 15950  Itvcitv 25335  LineGclng 25336   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  EEGceeng 25857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-ds 15964  df-itv 25337  df-lng 25338  df-eeng 25858

This theorem is referenced by:  eengbas  25861  ebtwntg  25862  ecgrtg  25863  elntg  25864