Theorem subsubrg 18806

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 18785	. . . . . 6 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> R e. Ring )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4	3	subrgss 18781	. . . . . . . . 9 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> B C_ ( Base ` S ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
6		subsubrg.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( R ↾s A )
7	6	subrgbas 18789	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A = ( Base ` S ) )
9	5, 8	sseqtr4d 3642	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ A )
10	6	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( S ↾s B ) = ( ( R ↾s A ) ↾s B )
11		ressabs 15939	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
12	10, 11	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
13	9, 12	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S ↾s B ) = ( S ↾s B )
15	14	subrgring 18783	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
17	13, 16	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
18	2, 17	jca 554	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
20	19	subrgss 18781	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A C_ ( Base ` R ) )
22	9, 21	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` R ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	6, 23	subrg1 18790	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
27	26	subrg1cl 18788	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( 1r ` S ) e. B )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
29	25, 28	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
30	22, 29	jca 554	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
31	19, 23	issubrg 18780	. . . 4 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
32	18, 30, 31	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B e. (SubRing ` R ) )
33	32, 9	jca 554	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) )
34	6	subrgring 18783	. . . . 5 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> S e. Ring )
36	12	adantrl 752	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
37		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
38	37	subrgring 18783	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
39	38	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
40	36, 39	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
41	35, 40	jca 554	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) )
42		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ A )
43	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> A = ( Base ` S ) )
44	42, 43	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
45	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
46	23	subrg1cl 18788	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) e. B )
47	46	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
48	45, 47	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
49	44, 48	jca 554	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) )
50	3, 26	issubrg 18780	. . 3 |- ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) ) )
51	41, 49, 50	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B e. (SubRing ` S ) )
52	33, 51	impbida 877	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   1rcur 18501   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778

This theorem is referenced by:  subsubrg2  18807  subrgmpl  19460  mplbas2  19470  mplind  19502  zringunit  19836  rzgrp  24300