Theorem omeulem1 7662

Description: Lemma for omeu 7665: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeulem1	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem omeulem1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. On )
2		sucelon 7017	. . . . . 6 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B e. On )
4		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> A e. On )
5		on0eln0 5780	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
6	5	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
7	6	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
8		omword2 7654	. . . . 5 |- ( ( ( suc B e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
9	3, 4, 7, 8	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
10		sucidg 5803	. . . . 5 |- ( B e. On -> B e. suc B )
11		ssel 3597	. . . . 5 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. suc B -> B e. ( A .o suc B ) ) )
12	10, 11	syl5 34	. . . 4 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. On -> B e. ( A .o suc B ) ) )
13	9, 1, 12	sylc 65	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. ( A .o suc B ) )
14		suceq 5790	. . . . . 6 |- ( x = B -> suc x = suc B )
15	14	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc B ) )
16	15	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = B -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc B ) ) )
17	16	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( B e. On /\ B e. ( A .o suc B ) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
18	1, 13, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
19		suceq 5790	. . . . . 6 |- ( x = z -> suc x = suc z )
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc z ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = z -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc z ) ) )
22	21	onminex 7007	. . 3 |- ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
24	23	elon 5732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On <-> Ord x )
25		ordzsl 7045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord x <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
26	24, 25	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
27		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B e. (/)
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
29		om0x 7599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A .o (/) ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = (/) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. (/) ) )
32	27, 31	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
34		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> x = suc w )
35		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) )
36		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) ) )
37		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
38	37	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- w e. suc w
39		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = w -> suc z = suc w )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = w -> ( A .o suc z ) = ( A .o suc w ) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = w -> ( B e. ( A .o suc z ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
42	41	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = w -> ( -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
43	42	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. suc w -> ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
44	38, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
45	36, 44	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
46	34, 35, 45	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
47		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = suc w -> ( A .o x ) = ( A .o suc w ) )
48	47	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
49	48	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( -. B e. ( A .o x ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
50	49	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = suc w /\ -. B e. ( A .o suc w ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
51	34, 46, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o x ) )
52	51	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
53	52	rexlimdvw 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( E. w e. On x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
54		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> A e. On )
56	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> x e. _V )
57		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> Lim x )
58		omlim 7613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
59	55, 56, 57, 58	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
60	59	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. U_ z e. x ( A .o z ) ) )
61		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) <-> E. z e. x B e. ( A .o z ) )
62		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Lim x -> Ord x )
63	62	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> Ord x )
64	63, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> x e. On )
65		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. x )
66		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
67	64, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
68		suceloni 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. On -> suc z e. On )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> suc z e. On )
70		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> A e. On )
71		sssucid 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- z C_ suc z
72		omwordi 7651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ suc z -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) ) )
73	71, 72	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
74	67, 69, 70, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
75	74	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) )
76	75	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( z e. x -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) ) )
77	76	reximdvai 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( E. z e. x B e. ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
78	61, 77	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
79	60, 78	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
80	79	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
81	54, 80	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
82	81	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
83	82	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
84	83	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
85	33, 53, 84	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
86	26, 85	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> -. B e. ( A .o x ) ) )
87	86	impr 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
88		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> A e. On )
89		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> x e. On )
90		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
91	88, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) e. On )
92		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> B e. On )
93		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
94	91, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
95	87, 94	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) C_ B )
96		oawordex 7637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
97	91, 92, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
98	95, 97	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
99	98	3adantr1 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
100		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) = B )
101		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( A .o suc x ) )
102		simp11 1091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> A e. On )
103		simp23 1096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> x e. On )
104		omsuc 7606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
105	102, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
106	101, 105	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( ( A .o x ) +o A ) )
107	100, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) )
108		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. On )
109	102, 103, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o x ) e. On )
110		oaord 7627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
111	108, 102, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
112	107, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. A )
113	112, 100	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
114	113	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
115	114	reximdv2 3014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
116	99, 115	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )
117	116	expcom 451	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
118	117	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
119	118	com13 88	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
120	119	reximdvai 3015	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
121	22, 120	syl5 34	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
122	18, 121	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  omeu  7665