Theorem supadd 10991

Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul 10995. (Contributed by Brendan Leahy, 26-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
supadd.a1	|- ( ph -> A C_ RR )
supadd.a2	|- ( ph -> A =/= (/) )
supadd.a3	|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
supadd.b1	|- ( ph -> B C_ RR )
supadd.b2	|- ( ph -> B =/= (/) )
supadd.b3	|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. B y <_ x )
supadd.c	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v + b ) }

Assertion

Ref	Expression
supadd	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, b, v, A   x, B, y, z, b, v   x, C   ph, z, b, v

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supadd

Dummy variables w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supadd.a1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
2		supadd.a2	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
3		supadd.a3	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
4		supadd.b1	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ RR )
5		supadd.b2	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= (/) )
6		supadd.b3	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. B y <_ x )
7		suprcl 10983	. . . . . 6 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- { z | E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) } = { z | E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) }
10	1, 2, 3, 8, 9	supaddc 10990	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) } , RR , < ) )
11	1	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. CC )
13	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( B , RR , < ) e. CC )
15	12, 14	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( a + sup ( B , RR , < ) ) = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) <-> z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) ) )
17	16	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) <-> E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) ) )
18	17	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( ph -> { z | E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) } = { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } )
19	18	supeq1d 8352	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { z | E. a e. A z = ( a + sup ( B , RR , < ) ) } , RR , < ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } , RR , < ) )
20	10, 19	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } , RR , < ) )
21		vex 3203	. . . . . . 7 |- w e. _V
22		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) <-> w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) <-> E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) ) )
24	21, 23	elab 3350	. . . . . 6 |- ( w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } <-> E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
25	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> B C_ RR )
26	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> B =/= (/) )
27	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR A. y e. B y <_ x )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { z | E. b e. B z = ( b + a ) } = { z | E. b e. B z = ( b + a ) }
29	25, 26, 27, 11, 28	supaddc 10990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) + a ) = sup ( { z | E. b e. B z = ( b + a ) } , RR , < ) )
30	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> b e. RR )
32	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> b e. CC )
33	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> a e. RR )
34	33	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> a e. CC )
35	32, 34	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( b + a ) = ( a + b ) )
36	35	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( z = ( b + a ) <-> z = ( a + b ) ) )
37	36	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. b e. B z = ( b + a ) <-> E. b e. B z = ( a + b ) ) )
38	37	abbidv 2741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { z | E. b e. B z = ( b + a ) } = { z | E. b e. B z = ( a + b ) } )
39	38	supeq1d 8352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( { z | E. b e. B z = ( b + a ) } , RR , < ) = sup ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } , RR , < ) )
40	29, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) + a ) = sup ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } , RR , < ) )
41		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( z = ( a + b ) <-> w = ( a + b ) ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( E. b e. B z = ( a + b ) <-> E. b e. B w = ( a + b ) ) )
43	21, 42	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } <-> E. b e. B w = ( a + b ) )
44		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. A /\ E. b e. B w = ( a + b ) ) -> E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = a -> ( v + b ) = ( a + b ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = a -> ( z = ( v + b ) <-> z = ( a + b ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v + b ) <-> E. b e. B z = ( a + b ) ) )
48	47	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v + b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a + b ) )
49	41	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a + b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) ) )
50	48, 49	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v + b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) ) )
51		supadd.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v + b ) }
52	21, 50, 51	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
53	44, 52	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. A /\ E. b e. B w = ( a + b ) ) -> w e. C )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. A -> ( E. b e. B w = ( a + b ) -> w e. C ) )
55	1	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( a e. A -> a e. RR ) )
56	4	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( b e. B -> b e. RR ) )
57	55, 56	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a e. RR /\ b e. RR ) ) )
58		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a + b ) e. RR )
59	57, 58	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a + b ) e. RR ) )
60		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a + b ) e. RR -> ( w = ( a + b ) -> w e. RR ) )
61	59, 60	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a + b ) -> w e. RR ) ) )
62	61	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) -> w e. RR ) )
63	52, 62	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( w e. C -> w e. RR ) )
64	63	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C C_ RR )
65		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a + b ) e. _V
66	65	isseti 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- E. w w = ( a + b )
67	66	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. b e. B E. w w = ( a + b )
68		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B =/= (/) /\ A. b e. B E. w w = ( a + b ) ) -> E. b e. B E. w w = ( a + b ) )
69	5, 67, 68	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E. b e. B E. w w = ( a + b ) )
70		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. b e. B E. w w = ( a + b ) <-> E. w E. b e. B w = ( a + b ) )
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. w E. b e. B w = ( a + b ) )
72	71	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. a e. A E. w E. b e. B w = ( a + b ) )
73		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A =/= (/) /\ A. a e. A E. w E. b e. B w = ( a + b ) ) -> E. a e. A E. w E. b e. B w = ( a + b ) )
74	2, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. a e. A E. w E. b e. B w = ( a + b ) )
75		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. a e. A E. w E. b e. B w = ( a + b ) <-> E. w E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
76	74, 75	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. w E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
77		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C =/= (/) <-> E. w w e. C )
78	52	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. C <-> E. w E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
79	77, 78	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C =/= (/) <-> E. w E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) )
80	76, 79	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C =/= (/) )
81		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
82	1, 2, 3, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
83	82, 8	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) e. RR )
84	11	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a e. RR )
85	30	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b e. RR )
86	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
87	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
88	1, 2, 3	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
89		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
90	88, 89	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
91	90	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
92	4, 5, 6	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
93		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
94	92, 93	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
95	94	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
96	84, 85, 86, 87, 91, 95	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a + b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) )
97	96	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a + b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
98		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( a + b ) -> ( w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) <-> ( a + b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
99	98	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a + b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) -> ( w = ( a + b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
100	97, 99	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a + b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
101	100	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a + b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
102	52, 101	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
103	102	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) )
104		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) -> ( w <_ x <-> w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
105	104	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) -> ( A. w e. C w <_ x <-> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
106	105	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) e. RR /\ A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) -> E. x e. RR A. w e. C w <_ x )
107	83, 103, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. C w <_ x )
108		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) /\ w e. C ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) )
109	108	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) -> ( w e. C -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
110	64, 80, 107, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
111	54, 110	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. b e. B w = ( a + b ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
112	43, 111	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
113	112	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) )
114	33, 31	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( a + b ) e. RR )
115		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a + b ) e. RR -> ( z = ( a + b ) -> z e. RR ) )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( z = ( a + b ) -> z e. RR ) )
117	116	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. b e. B z = ( a + b ) -> z e. RR ) )
118	117	abssdv 3676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { z | E. b e. B z = ( a + b ) } C_ RR )
119	65	isseti 3209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. z z = ( a + b )
120	119	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. b e. B E. z z = ( a + b )
121		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B =/= (/) /\ A. b e. B E. z z = ( a + b ) ) -> E. b e. B E. z z = ( a + b ) )
122	5, 120, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E. b e. B E. z z = ( a + b ) )
123		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. b e. B E. z z = ( a + b ) <-> E. z E. b e. B z = ( a + b ) )
124	122, 123	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. z E. b e. B z = ( a + b ) )
125		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } =/= (/) <-> E. z E. b e. B z = ( a + b ) )
126	124, 125	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { z | E. b e. B z = ( a + b ) } =/= (/) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { z | E. b e. B z = ( a + b ) } =/= (/) )
128		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
129	64, 80, 107, 128	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
131		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( w <_ x <-> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
132	131	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ x <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
133	132	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sup ( C , RR , < ) e. RR /\ A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ x )
134	130, 113, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ x )
135		suprleub 10989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } C_ RR /\ { z | E. b e. B z = ( a + b ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ x ) /\ sup ( C , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
136	118, 127, 134, 130, 135	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a + b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
137	113, 136	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( { z | E. b e. B z = ( a + b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) )
138	40, 137	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) + a ) <_ sup ( C , RR , < ) )
139		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> ( w <_ sup ( C , RR , < ) <-> ( sup ( B , RR , < ) + a ) <_ sup ( C , RR , < ) ) )
140	138, 139	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
141	140	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
142	24, 141	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
143	142	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) )
144	13, 11	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) + a ) e. RR )
145		eleq1a 2696	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( B , RR , < ) + a ) e. RR -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> z e. RR ) )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> z e. RR ) )
147	146	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) -> z e. RR ) )
148	147	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ph -> { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } C_ RR )
149		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( sup ( B , RR , < ) + a ) e. _V
150	149	isseti 3209	. . . . . . . . 9 |- E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a )
151	150	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a )
152		r19.2z 4060	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) ) -> E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
153	2, 151, 152	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
154		rexcom4 3225	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) <-> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
155	153, 154	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
156		abn0 3954	. . . . . 6 |- ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } =/= (/) <-> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) )
157	155, 156	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } =/= (/) )
158	131	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ x <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
159	158	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( sup ( C , RR , < ) e. RR /\ A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ x )
160	129, 143, 159	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ x )
161		suprleub 10989	. . . . 5 |- ( ( ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } C_ RR /\ { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ x ) /\ sup ( C , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
162	148, 157, 160, 129, 161	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
163	143, 162	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) + a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) )
164	20, 163	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) <_ sup ( C , RR , < ) )
165		suprleub 10989	. . . 4 |- ( ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) /\ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) e. RR ) -> ( sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) <-> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
166	64, 80, 107, 83, 165	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) <-> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) )
167	103, 166	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) )
168	83, 129	letri3d 10179	. 2 |- ( ph -> ( ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) <-> ( ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) <_ sup ( C , RR , < ) /\ sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
169	164, 167, 168	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) + sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  ismblfin  33450  itg2addnc  33464  sge0resplit  40623