sge0resplit - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0resplit 40623

Description: Σ^{^} splits into two parts, when it's a real number. This is a special case of sge0split 40626. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0resplit.a
sge0resplit.b
sge0resplit.u
sge0resplit.in0
sge0resplit.f
sge0resplit.re	Σ^{^}

**Assertion**
Ref	Expression
sge0resplit	Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}

Proof of Theorem sge0resplit Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0resplit.a	. . . . . . 7
2		sge0resplit.f	. . . . . . . 8
3		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10
4		sge0resplit.u	. . . . . . . . . . 11
5	4	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10
6	3, 5	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8
8	2, 7	fssresd 6071	. . . . . . 7
9	4	a1i 11	. . . . . . . . 9
10		sge0resplit.b	. . . . . . . . . 10
11		unexg 6959	. . . . . . . . . 10 $/\$
12	1, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
13	9, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
14		sge0resplit.re	. . . . . . . 8 Σ^{^}
15	13, 2, 14	sge0ssre 40614	. . . . . . 7 Σ^{^}
16	1, 8, 15	sge0supre 40606	. . . . . 6 Σ^{^}
17	16, 15	eqeltrrd 2702	. . . . 5
18		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10
19	18, 5	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8
21	2, 20	fssresd 6071	. . . . . . 7
22	13, 2, 14	sge0ssre 40614	. . . . . . 7 Σ^{^}
23	10, 21, 22	sge0supre 40606	. . . . . 6 Σ^{^}
24	23, 22	eqeltrrd 2702	. . . . 5
25		rexadd 12063	. . . . 5 $/\$
26	17, 24, 25	syl2anc 693	. . . 4
27	13, 2, 14	sge0rern 40605	. . . . . . . 8
28		nelrnres 39374	. . . . . . . 8
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7
30	8, 29	fge0iccico 40587	. . . . . 6
31	30	sge0rnre 40581	. . . . 5
32		sge0rnn0 40585	. . . . . 6
33	32	a1i 11	. . . . 5
34	1, 30	sge0reval 40589	. . . . . . . 8 Σ^{^}
35	34	eqcomd 2628	. . . . . . 7 Σ^{^}
36	35, 15	eqeltrd 2701	. . . . . 6
37		supxrre3 39541	. . . . . . 7 $/\$
38	31, 33, 37	syl2anc 693	. . . . . 6
39	36, 38	mpbid 222	. . . . 5
40		nelrnres 39374	. . . . . . . 8
41	27, 40	syl 17	. . . . . . 7
42	21, 41	fge0iccico 40587	. . . . . 6
43	42	sge0rnre 40581	. . . . 5
44		sge0rnn0 40585	. . . . . 6
45	44	a1i 11	. . . . 5
46	10, 42	sge0reval 40589	. . . . . . . 8 Σ^{^}
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . 7 Σ^{^}
48	47, 22	eqeltrd 2701	. . . . . 6
49		supxrre3 39541	. . . . . . 7 $/\$
50	43, 45, 49	syl2anc 693	. . . . . 6
51	48, 50	mpbid 222	. . . . 5
52		eqid 2622	. . . . 5
53	31, 33, 39, 43, 45, 51, 52	supadd 10991	. . . 4
54		simpl 473	. . . . . . . . . 10 $/\$
55		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
56		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13
59	55, 58	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12
60	59	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
63		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65	64	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	63, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	67	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
70		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
72	71	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73	72	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	70, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75	74	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
77	69, 76	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
82		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
83		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
84		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
85	84, 6	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	83, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
87	82, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
89		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
90		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
91		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
92	91, 19	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
93	90, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	89, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
96	88, 95	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
98		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
99	97, 98	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
100	99	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
101	96, 100	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
102		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
104		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
106		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
107	103, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
108	101, 107	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
112		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
113	111, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
115	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
116	115	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
117		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
119	118	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
121	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
122	121	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
123		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
125	124	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
127	120, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
129	114, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		sge0resplit.in0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
134	115	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
135	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
137		ssin0 39223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
138	133, 134, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
139		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
141		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
142		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
143	141, 142	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
144	2, 27	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
145	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
146	96	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
147	146	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
148	145, 147	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
149	143, 148	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
150	138, 139, 140, 149	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
151	150	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	130, 131, 151	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154	153	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155	154	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
156	110, 152, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	81, 156, 157	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	158	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	159	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
161	160	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
162	161	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
163	162	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
164	62, 80, 163	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
165	164	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
166	165	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . 11
167	166	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$
168	54, 61, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$
169	168	ex 450	. . . . . . . 8
170	81	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . 13
171	170	ibi 256	. . . . . . . . . . . 12
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
173		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13
174		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14
175		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15
176	175	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . 14
177	174, 176	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13
178	173, 177	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
179		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14
180	179	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . 13
181		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15
182	181	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . 14
183		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14
184	182, 183	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . 13
185	180, 184	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . 12
186		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
187	186	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188	187	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
189	117	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190	188, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
191	190	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
192		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
193	192	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
195	194	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
196	195	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
197	186, 196	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
202		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
203	199, 201, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204	198, 203	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
205		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
206		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
207	206	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
208	207	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
209	204, 205, 208	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212	193, 209, 211	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
213	191, 212	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16
214	213	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
215		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
216	215	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
217		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
218	194	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
219	218	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
220	217, 219	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
222		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
223	222	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
224		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
225	199, 223, 224	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
226	225	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
227	221, 226	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
228	217	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
229	123	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
230	228, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
231	230	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
233	232	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
234		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
235	234	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
236	235	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
237	227, 233, 236	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
238		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
239	238	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
240	216, 237, 239	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
241		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
242	186	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
243	217	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
244		ssin0 39223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
245	132, 242, 243, 244	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
246	245	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
247		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
248		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
249	247, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
250	4	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
252		dfss 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
253	252	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
254		indi 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
255	254	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
257	251, 253, 256	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
258	249, 257	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
259	258	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
260	199	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
261	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
262	249	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
263	262	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
264	261, 263	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
265	143, 264	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
266	246, 259, 260, 265	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
267	266	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
268	241, 267	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
269		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
270	269	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
271	270	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
272	240, 268, 271	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
273		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
274	273	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
275	274	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
276	275	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
277	214, 272, 276	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
278	277	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13
279	278	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
280	178, 185, 279	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 $/\$
281	172, 280	mpd 15	. . . . . . . . . 10 $/\$
282	281, 59	sylibr 224	. . . . . . . . 9 $/\$
283	282	ex 450	. . . . . . . 8
284	169, 283	impbid 202	. . . . . . 7
285	284	alrimiv 1855	. . . . . 6
286		dfcleq 2616	. . . . . 6
287	285, 286	sylibr 224	. . . . 5
288	287	supeq1d 8352	. . . 4
289	26, 53, 288	3eqtrrd 2661	. . 3
290	13, 2, 14	sge0supre 40606	. . 3 Σ^{^}
291	16, 23	oveq12d 6668	. . 3 Σ^{^} Σ^{^}
292	289, 290, 291	3eqtr4d 2666	. 2 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
293		rexadd 12063	. . 3 Σ^{^} $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
294	15, 22, 293	syl2anc 693	. 2 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
295	292, 294	eqtrd 2656	1 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

cres 5116

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cxad 11944

cico 12177

cicc 12178

csu 14416 Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-sumge0 40580

This theorem is referenced by: sge0split 40626

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