Theorem supminfxr2 39699

Description: The extended real suprema of a set of extended reals is the extended real negative of the extended real infima of that set's image under extended real negation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
supminfxr2.1	|- ( ph -> A C_ RR* )

Assertion

Ref	Expression
supminfxr2	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = -einf ( { x e. RR* | -e x e. A } , RR* , < ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem supminfxr2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegmnf 12041	. . . . . 6 |- -e -oo = +oo
2	1	eqcomi 2631	. . . . 5 |- +oo = -e -oo
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> +oo = -e -oo )
4		supminfxr2.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR* )
5		supxrpnf 12148	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
6	4, 5	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
7		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { y e. RR* | -e y e. A } C_ RR*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( +oo e. A -> { y e. RR* | -e y e. A } C_ RR* )
9		xnegeq 12038	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -oo -> -e y = -e -oo )
10	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -oo -> -e -oo = +oo )
11	9, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( y = -oo -> -e y = +oo )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = -oo -> ( -e y e. A <-> +oo e. A ) )
13		mnfxr 10096	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. A -> -oo e. RR* )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. A -> +oo e. A )
16	12, 14, 15	elrabd 3365	. . . . . . 7 |- ( +oo e. A -> -oo e. { y e. RR* | -e y e. A } )
17		infxrmnf 12167	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. RR* | -e y e. A } C_ RR* /\ -oo e. { y e. RR* | -e y e. A } ) -> inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -oo )
18	8, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( +oo e. A -> inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -oo )
19	18	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -oo )
20	19	xnegeqd 39664	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -e -oo )
21	3, 6, 20	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) )
22	4	ssdifssd 3748	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A \ { -oo } ) C_ RR* )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> ( A \ { -oo } ) C_ RR* )
24		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( -. +oo e. A -> ( A \ { -oo } ) C_ A )
25		id 22	. . . . . . . 8 |- ( -. +oo e. A -> -. +oo e. A )
26		ssnel 39204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ A /\ -. +oo e. A ) -> -. +oo e. ( A \ { -oo } ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( -. +oo e. A -> -. +oo e. ( A \ { -oo } ) )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> -. +oo e. ( A \ { -oo } ) )
29		neldifsnd 4322	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> -. -oo e. ( A \ { -oo } ) )
30	23, 28, 29	xrssre 39564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> ( A \ { -oo } ) C_ RR )
31	30	supminfxr 39694	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> sup ( ( A \ { -oo } ) , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } , RR* , < ) )
32		supxrmnf2 39660	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> sup ( ( A \ { -oo } ) , RR* , < ) = sup ( A , RR* , < ) )
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ( A \ { -oo } ) , RR* , < ) = sup ( A , RR* , < ) )
34	33	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( ( A \ { -oo } ) , RR* , < ) )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( ( A \ { -oo } ) , RR* , < ) )
36		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> y e. RR* )
38		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> y e. RR )
39	38	rexnegd 39334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> -e y = -u y )
40		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u y e. ( A \ { -oo } ) -> -u y e. A )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> -u y e. A )
42	39, 41	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> -e y e. A )
43	37, 42	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> ( y e. RR* /\ -e y e. A ) )
44		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. { y e. RR* | -e y e. A } <-> ( y e. RR* /\ -e y e. A ) )
45	43, 44	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> y e. { y e. RR* | -e y e. A } )
46		renepnf 10087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> y =/= +oo )
47		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { +oo } -> y = +oo )
48	47	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y =/= +oo -> -. y e. { +oo } )
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> -. y e. { +oo } )
50	38, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> -. y e. { +oo } )
51	45, 50	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ -u y e. ( A \ { -oo } ) ) -> y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( -u y e. ( A \ { -oo } ) -> y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) )
53	52	rgen 2922	. . . . . . . . . . 11 |- A. y e. RR ( -u y e. ( A \ { -oo } ) -> y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( -. +oo e. A -> A. y e. RR ( -u y e. ( A \ { -oo } ) -> y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) )
55		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y { y e. RR* | -e y e. A }
56		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y { +oo }
57	55, 56	nfdif 3731	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } )
58	57	rabssf 39302	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } C_ ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) <-> A. y e. RR ( -u y e. ( A \ { -oo } ) -> y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) )
59	54, 58	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( -. +oo e. A -> { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } C_ ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) )
60		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. +oo e. A
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y RR
62		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> y e. { y e. RR* | -e y e. A } )
63	7, 62	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> y e. RR* )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> y e. RR* )
65	44	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. { y e. RR* | -e y e. A } -> -e y e. A )
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> -e y e. A )
67	12	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -e y e. A /\ y = -oo ) -> +oo e. A )
68	67	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. +oo e. A /\ -e y e. A ) /\ y = -oo ) -> +oo e. A )
69		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. +oo e. A /\ -e y e. A ) /\ y = -oo ) -> -. +oo e. A )
70	68, 69	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. +oo e. A /\ -e y e. A ) -> -. y = -oo )
71	70	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. +oo e. A /\ -e y e. A ) -> y =/= -oo )
72	66, 71	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> y =/= -oo )
73		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> y =/= +oo )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> y =/= +oo )
75	64, 72, 74	xrred 39581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> y e. RR )
76	60, 57, 61, 75	ssdf2 39331	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. +oo e. A -> ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) C_ RR )
77	75	rexnegd 39334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> -e y = -u y )
78	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> -e y e. A )
79	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) /\ -e y e. { -oo } ) -> y e. RR* )
80		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -e y e. { -oo } -> -e y = -oo )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) /\ -e y e. { -oo } ) -> -e y = -oo )
82		xnegeq 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -e y = -oo -> -e -e y = -e -oo )
83	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -e y = -oo -> -e -oo = +oo )
84	82, 83	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -e y = -oo -> +oo = -e -e y )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR* /\ -e y = -oo ) -> +oo = -e -e y )
86		xnegneg 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR* -> -e -e y = y )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR* /\ -e y = -oo ) -> -e -e y = y )
88	85, 87	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR* /\ -e y = -oo ) -> y = +oo )
89	79, 81, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) /\ -e y e. { -oo } ) -> y = +oo )
90	73	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> -. y = +oo )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) /\ -e y e. { -oo } ) -> -. y = +oo )
92	89, 91	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -> -. -e y e. { -oo } )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> -. -e y e. { -oo } )
94	78, 93	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> -e y e. ( A \ { -oo } ) )
95	77, 94	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. +oo e. A /\ y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) ) -> -u y e. ( A \ { -oo } ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. +oo e. A -> A. y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -u y e. ( A \ { -oo } ) )
97	76, 96	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( -. +oo e. A -> ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) C_ RR /\ A. y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -u y e. ( A \ { -oo } ) ) )
98	57, 61	ssrabf 39298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) C_ { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } <-> ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) C_ RR /\ A. y e. ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) -u y e. ( A \ { -oo } ) ) )
99	97, 98	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( -. +oo e. A -> ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) C_ { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } )
100	59, 99	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( -. +oo e. A -> { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } = ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) )
101	100	infeq1d 8383	. . . . . . 7 |- ( -. +oo e. A -> inf ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } , RR* , < ) = inf ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) , RR* , < ) )
102		infxrpnf2 39693	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. RR* | -e y e. A } C_ RR* -> inf ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) , RR* , < ) = inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) )
103	7, 102	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- inf ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) , RR* , < ) = inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < )
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( -. +oo e. A -> inf ( ( { y e. RR* | -e y e. A } \ { +oo } ) , RR* , < ) = inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) )
105	101, 104	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( -. +oo e. A -> inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = inf ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } , RR* , < ) )
106	105	xnegeqd 39664	. . . . 5 |- ( -. +oo e. A -> -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } , RR* , < ) )
107	106	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR | -u y e. ( A \ { -oo } ) } , RR* , < ) )
108	31, 35, 107	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) )
109	21, 108	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) )
110		xnegeq 12038	. . . . . . 7 |- ( y = x -> -e y = -e x )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( -e y e. A <-> -e x e. A ) )
112	111	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { y e. RR* | -e y e. A } = { x e. RR* | -e x e. A }
113	112	infeq1i 8384	. . . 4 |- inf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = inf ( { x e. RR* | -e x e. A } , RR* , < )
114	113	xnegeqi 39667	. . 3 |- -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -einf ( { x e. RR* | -e x e. A } , RR* , < )
115	114	a1i 11	. 2 |- ( ph -> -einf ( { y e. RR* | -e y e. A } , RR* , < ) = -einf ( { x e. RR* | -e x e. A } , RR* , < ) )
116	109, 115	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = -einf ( { x e. RR* | -e x e. A } , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ucneg 10267   -ecxne 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946

This theorem is referenced by:  supminfxrrnmpt  39701  liminfvalxr  40015