Theorem liminfvalxr 40015

Description: Alternate definition of liminf when F is an extended real valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	|- F/_ x F
liminfvalxr.2	|- ( ph -> A e. V )
liminfvalxr.3	|- ( ph -> F : A --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	|- ( ph -> (liminf ` F ) = -e ( limsup ` ( x e. A |-> -e ( F ` x ) ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1730	. . . . . . 7 |- F/ k T.
2		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ RR*
3		infxrcl 12163	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ RR* -> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) e. RR* )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) e. RR*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. RR ) -> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) e. RR* )
6	1, 5	supminfxrrnmpt 39701	. . . . . 6 |- ( T. -> sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
7	6	trud 1493	. . . . 5 |- sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < )
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
9		tru 1487	. . . . . . . . . . 11 |- T.
10		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ RR*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ RR* )
12	11	supminfxr2 39699	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) = -einf ( { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } , RR* , < ) )
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) = -einf ( { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } , RR* , < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) = -einf ( { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } , RR* , < ) )
15		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) -> -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) )
16		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ y ( y e. A |-> -e ( F ` y ) )
17		xnegex 12039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -e ( F ` y ) e. _V
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) = ( y e. A |-> -e ( F ` y ) )
19	17, 18	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) Fn A
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) Fn A )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) ) -> ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) Fn A )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) ) -> -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) )
23	16, 21, 22	fvelimad 39458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z )
24	23	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. RR* /\ -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z )
25	15, 24	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. RR* /\ -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z )
26		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) -> -e z e. RR* )
27		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> y e. A )
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> -e ( F ` y ) e. _V )
29	18	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. A /\ -e ( F ` y ) e. _V ) -> ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e ( F ` y ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e ( F ` y ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> -e ( F ` y ) = ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z ) -> -e ( F ` y ) = ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z ) -> ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z )
34	32, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z ) -> -e ( F ` y ) = -e z )
35	34	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z ) -> -e ( F ` y ) = -e z )
36		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -e ( F ` y ) = -e z <-> -e z = -e ( F ` y ) )
37	36	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -e ( F ` y ) = -e z -> -e z = -e ( F ` y ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ -e ( F ` y ) = -e z ) -> -e z = -e ( F ` y ) )
39		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> z e. RR* )
40		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> F : A --> RR* )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> F : A --> RR* )
42	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> y e. A )
43	41, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR* )
44	43	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR* )
45		xneg11 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) e. RR* ) -> ( -e z = -e ( F ` y ) <-> z = ( F ` y ) ) )
46	39, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( -e z = -e ( F ` y ) <-> z = ( F ` y ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ -e ( F ` y ) = -e z ) -> ( -e z = -e ( F ` y ) <-> z = ( F ` y ) ) )
48	38, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ -e ( F ` y ) = -e z ) -> z = ( F ` y ) )
49	40	ffund 6049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> Fun F )
50	49, 27	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( Fun F /\ y e. A ) )
51	50	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> Fun F )
52	40	fdmd 39420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> dom F = A )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A = dom F )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> A = dom F )
55	42, 54	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> y e. dom F )
56	51, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( Fun F /\ y e. dom F ) )
57		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> y e. ( k [,) +oo ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> y e. ( k [,) +oo ) )
59		funfvima 6492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( y e. ( k [,) +oo ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) )
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
61	60	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ -e ( F ` y ) = -e z ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
62	48, 61	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ -e ( F ` y ) = -e z ) -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
63	35, 62	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR* ) /\ y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) /\ ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z ) -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
64	63	rexlimdva2 39339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. RR* ) -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) )
65	64	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. RR* /\ -e z e. RR* ) -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) )
66	26, 65	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. RR* /\ -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ` y ) = -e z -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) )
67	25, 66	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. RR* /\ -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
68	67	rabssdv 3682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } C_ ( F " ( k [,) +oo ) ) )
69		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } C_ RR*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } C_ RR* )
71	68, 70	ssind 3837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } C_ ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) )
72	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ RR* )
73	40	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F Fn A )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> F Fn A )
75		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
77		fvelima2 39475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ z e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` y ) = z )
78	74, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` y ) = z )
79		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) -> z e. RR* )
80		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F ` y ) = z <-> z = ( F ` y ) )
81	80	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` y ) = z -> z = ( F ` y ) )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> z = ( F ` y ) )
83	82	xnegeqd 39664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> -e z = -e ( F ` y ) )
84		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> z e. RR* )
85	82, 84	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> ( F ` y ) e. RR* )
86	84, 85, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> ( -e z = -e ( F ` y ) <-> z = ( F ` y ) ) )
87	83, 86	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> z = ( F ` y ) )
88	87	xnegeqd 39664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR* /\ ( F ` y ) = z ) -> -e z = -e ( F ` y ) )
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR* -> ( ( F ` y ) = z -> -e z = -e ( F ` y ) ) )
90	89	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR* -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` y ) = z -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) ) )
91	79, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` y ) = z -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) ) )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> ( E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` y ) = z -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) ) )
93	78, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) )
94		xnegex 12039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -e z e. _V
95		elmptima 39473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -e z e. _V -> ( -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) <-> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) ) )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) <-> E. y e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -e z = -e ( F ` y ) )
97	93, 96	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> -e z e. ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) )
98	72	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> z e. RR* )
99	98	xnegcld 12130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> -e z e. RR* )
100	97, 99	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) ) -> -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) )
101	72, 100	ssrabdv 3681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) C_ { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } )
102	71, 101	eqssd 3620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } = ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) )
103	102	infeq1d 8383	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } , RR* , < ) = inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
104	103	xnegeqd 39664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -einf ( { z e. RR* | -e z e. ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) } , RR* , < ) = -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
105	14, 104	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) = sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
106	105	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) )
107	106	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) )
108	107	infeq1d 8383	. . . . 5 |- ( ph -> inf ( ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
109	108	xnegeqd 39664	. . . 4 |- ( ph -> -einf ( ran ( k e. RR |-> -einf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
110	8, 109	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
111		liminfvalxr.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
112	40, 111	fexd 39296	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
113		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
114	113	liminfval 39991	. . . 4 |- ( F e. _V -> (liminf ` F ) = sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
115	112, 114	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (liminf ` F ) = sup ( ran ( k e. RR |-> inf ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
116	111	mptexd 6487	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) e. _V )
117		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
118	117	limsupval 14205	. . . . 5 |- ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) e. _V -> ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
119	116, 118	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
120	119	xnegeqd 39664	. . 3 |- ( ph -> -e ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = -einf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( ( ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) " ( k [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> (liminf ` F ) = -e ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) )
122		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 |- F/_ x F
123		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
124	122, 123	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x ( F ` y )
125	124	nfxneg 39691	. . . . . 6 |- F/_ x -e ( F ` y )
126		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y -e ( F ` x )
127		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
128	127	xnegeqd 39664	. . . . . 6 |- ( y = x -> -e ( F ` y ) = -e ( F ` x ) )
129	125, 126, 128	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) = ( x e. A |-> -e ( F ` x ) )
130	129	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = ( limsup ` ( x e. A |-> -e ( F ` x ) ) )
131	130	xnegeqi 39667	. . 3 |- -e ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = -e ( limsup ` ( x e. A |-> -e ( F ` x ) ) )
132	131	a1i 11	. 2 |- ( ph -> -e ( limsup ` ( y e. A |-> -e ( F ` y ) ) ) = -e ( limsup ` ( x e. A |-> -e ( F ` x ) ) ) )
133	121, 132	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> (liminf ` F ) = -e ( limsup ` ( x e. A |-> -e ( F ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ecxne 11943   [,)cico 12177   limsupclsp 14201  liminfclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946  df-limsup 14202  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  40018