Theorem swrdccatin12lem1 13484

Description: Lemma 1 for swrdccatin12 13491. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin12lem1	|- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11400	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
2		nn0z 11400	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3		zsubcl 11419	. . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	4	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6		elfzonelfzo 12570	. . . . 5 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
7	6	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( L - M ) e. ZZ /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
8	5, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
9		nn0cn 11302	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10		nn0cn 11302	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12		npncan3 10319	. . . . . . 7 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1368	. . . . . 6 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) = ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
16	15	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
17	8, 16	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
18	17	ex 450	1 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  swrdccatin12  13491  pfxccatin12  41425