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Theorem swrdccatin12lem2a 13485
Description: Lemma 1 for swrdccatin12lem2 13489. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2a |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
Proof of Theorem swrdccatin12lem2a
StepHypRef Expression
1 elfz2 12333 . . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2 zsubcl 11419 . . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
323adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
43adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
51, 4sylbi 207 . . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
65adantr 481 . . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7 elfzonelfzo 12570 . . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
86, 7syl 17 . 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9 elfzoelz 12470 . . . 4 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
10 elfzelz 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
11 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> L e. ZZ )
12 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
1311, 12anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
1614, 15anim12ci 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
1713, 16jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
1817exp32 631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
1910, 18syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
20193adant1 1079 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
221, 21sylbi 207 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
2322imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) )
2423impcom 446 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
25 elfzomelpfzo 12572 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
27 elfz2 12333 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
28 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N e. ZZ )
29 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> X e. ZZ )
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> N <_ X )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N <_ X )
3228, 29, 313jca 1242 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
3327, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
3534adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
36 eluz2 11693 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
3735, 36sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> X e. ( ZZ>= ` N ) )
38 fzoss2 12496 . . . . . . . . 9 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
4039sseld 3602 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( K + M ) e. ( L..^ N ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
4126, 40sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
4241ex 450 . . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
4342com23 86 . . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
449, 43mpcom 38 . . 3 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
4544com12 32 . 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
468, 45syld 47 1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2  13489  pfxccatin12lem2  41424
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