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Theorem swrdswrdlem 13459

Description: Lemma for swrdswrd 13460. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
swrdswrdlem	Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$

**Proof of Theorem swrdswrdlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. 2 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word
2		elfz2 12333	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
4		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
5		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
6	5	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
8		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
9		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
10		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
12		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
14		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
16		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
17		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
18	17	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	16, 18	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
23	22	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
24	23	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
25	24	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
26	8, 25	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
28	27	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
33	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
35		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
37	32, 34, 36	leadd2d 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
38	37	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
39	7, 29, 38	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	4, 42	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	44	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	3, 47	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	com13 88	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	2, 53	sylbi 207	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	impcom 446	. . . 4 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	impcom 446	. . 3 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		elfz2nn0 12431	. . 3 $/\$ $/\$
58	56, 57	sylibr 224	. 2 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
60	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
66	65, 35	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ $/\$
67		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
68	66, 67	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$
71		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 70, 71	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ $/\$ $/\$
73		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 $/\$
74	73	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 $/\$ $/\$
77	76	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 $/\$ $/\$ $/\$
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 $/\$ $/\$
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 $/\$ $/\$ $/\$
80		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 $/\$ $/\$ $/\$
81	80	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 $/\$ $/\$
82	77, 71, 79, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ $/\$ $/\$
88	68, 12, 87	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$
90	89	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
91	90	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$
92	91	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
93	92	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
94	93	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
95	94	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
96	95	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
98	15, 97	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
106	105	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	63, 64, 109	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	4, 113	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	59, 115	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	3, 121	sylbi 207	. . . . . . . . 9 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	122	com3l 89	. . . . . . . 8 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	124	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2, 125	sylbi 207	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	impcom 446	. . . 4 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	impcom 446	. . 3 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		elfz2nn0 12431	. . 3 $/\$ $/\$
130	128, 129	sylibr 224	. 2 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	1, 58, 130	3jca 1242	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

cz 11377

cfz 12326

chash 13117 Word cword 13291

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327

This theorem is referenced by: swrdswrd 13460

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