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Theorem swrdswrd 13460

Description: A subword of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
swrdswrd	Word $/\$ $/\$ $/\$ substr substr substr

Proof of Theorem swrdswrd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 13419	. . . . . 6 Word substr Word
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ substr Word
3	2	adantr 481	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr Word
4		elfz0ubfz0 12443	. . . . 5 $/\$
5	4	adantl 482	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$
8		fzss1 12380	. . . . . . . 8
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sseld 3602	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$
11	10	impr 649	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		3ancomb 1047	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
13	12	biimpi 206	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
15		swrdlen 13423	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ substr
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
17	16	oveq2d 6666	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
18	11, 17	eleqtrrd 2704	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
19		swrdval2 13420	. . . 4 substr Word $/\$ $/\$ substr substr substr ..^ substr
20	3, 5, 18, 19	syl3anc 1326	. . 3 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr ..^ substr
21		fvex 6201	. . . . . 6 substr
22		eqid 2622	. . . . . 6 ..^ substr ..^ substr
23	21, 22	fnmpti 6022	. . . . 5 ..^ substr ..^
24	23	a1i 11	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr ..^
25		swrdswrdlem 13459	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
26		swrdvalfn 13426	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ substr ..^
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ..^
28		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10
29		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
30		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
31		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
33		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
35		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
37		pnpcan 10320	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	32, 34, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
40	39	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 $/\$
41	29, 30, 40	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 $/\$
42	28, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 $/\$
43	42	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$
44	43	imp 445	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	44	oveq2d 6666	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
46	45	fneq2d 5982	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ..^ substr ..^
47	27, 46	mpbird 247	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ..^
48		simpr 477	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
49		fvex 6201	. . . . . . 7
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
53		eqid 2622	. . . . . . . 8 ..^ ..^
54	52, 53	fvmptg 6280	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^
55	48, 49, 54	sylancl 694	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
56		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 ..^
57		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	57, 31, 35	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		add32r 10255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
61	60	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
63	62	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14
65	30, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	28, 66	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	67	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$
69	68	imp 445	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	56, 69	syl5com 31	. . . . . . . 8 ..^ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	impcom 446	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
72	71	fveq2d 6195	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
73	55, 72	eqtrd 2656	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
74	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$
75		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
76		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ $/\$ $/\$
78		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
79	78	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
80		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
82		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
83	82	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
84		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
85	84	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
86	79, 81, 83, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
87		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
90	89	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
91	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
93		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
94		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
96	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
97		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ $/\$ $/\$
98	93, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$
99		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$
100	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$
101		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$
103		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$
104	99, 100, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ $/\$
105		elnnnn0b 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 $/\$
106	105	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$
108	104, 107	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ $/\$
109	108	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
110	109	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$
112	98, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
113	112	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$
114	113	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$
116	115	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
117	116	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
118	92, 117	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
119	87, 118	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
120	119	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
121	120	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
122	121	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		nn0readdcl 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
126	125	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
128	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
129	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
130		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
133	132	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
134	133	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ $/\$ $/\$
136	91, 122, 134, 135	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
137	136	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ ..^
138	86, 137	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ ..^
139	138	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ ..^
140	139	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ ..^
141	140	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ ..^
142	141	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ ..^
143	142	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ ..^
144	143	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
145	77, 144	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ ..^
146	145	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ ..^
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ ..^ ..^
148	147	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ ..^ ..^
149	148	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
150	149	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
151	76, 150	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ ..^
152	151	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ ..^
153	152	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ ..^ ..^
154	75, 153	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
155	154	imp 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ ..^
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
157	156	adantr 481	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^
158	157	imp 445	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
159		swrdfv 13424	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
160	74, 158, 159	syl2anc 693	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ substr
161	160	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ substr ..^
162	161	fveq1d 6193	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ substr ..^
163	25	adantr 481	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$
164	31, 33, 35	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	164	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	165, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15
168	167	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14
169	29, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
170	30, 169	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	28, 170	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	171	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$
173	172	imp 445	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
175	174	eleq2d 2687	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
176	175	biimpa 501	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
177		swrdfv 13424	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
178	163, 176, 177	syl2anc 693	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
179	73, 162, 178	3eqtr4d 2666	. . . 4 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ substr substr
180	24, 47, 179	eqfnfvd 6314	. . 3 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr substr
181	20, 180	eqtrd 2656	. 2 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr substr
182	181	ex 450	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ substr substr substr

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

wss 3574

cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-substr 13303

This theorem is referenced by: swrd0swrd 13461 swrdswrd0 13462

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