Theorem symgextfo 17842

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	|- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
symgext.e	|- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N -onto-> N )

Distinct variable groups:   x, K   x, N   x, S   x, Z

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables i k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 |- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
2		symgext.e	. . 3 |- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )
3	1, 2	symgextf 17837	. 2 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N --> N )
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
5	4, 1	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. S -> Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) )
6		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) -> Z : ( N \ { K } ) -onto-> ( N \ { K } ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. S -> Z : ( N \ { K } ) -onto-> ( N \ { K } ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> Z : ( N \ { K } ) -onto-> ( N \ { K } ) )
9		dffo3 6374	. . . . . . . 8 |- ( Z : ( N \ { K } ) -onto-> ( N \ { K } ) <-> ( Z : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) /\ A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( Z ` i ) ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( Z : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) /\ A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( Z ` i ) ) )
11	10	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( Z ` i ) )
12	1, 2	symgextfv 17838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( i e. ( N \ { K } ) -> ( E ` i ) = ( Z ` i ) ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ i e. ( N \ { K } ) ) -> ( E ` i ) = ( Z ` i ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ i e. ( N \ { K } ) ) -> ( k = ( E ` i ) <-> k = ( Z ` i ) ) )
15	14	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) <-> E. i e. ( N \ { K } ) k = ( Z ` i ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) <-> A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( Z ` i ) ) )
17	11, 16	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) )
18		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( k e. ( N \ { K } ) -> ( N \ { K } ) C_ N )
19		ssrexv 3667	. . . . . . 7 |- ( ( N \ { K } ) C_ N -> ( E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) -> E. i e. N k = ( E ` i ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( N \ { K } ) -> ( E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) -> E. i e. N k = ( E ` i ) ) )
21	20	ralimia 2950	. . . . 5 |- ( A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. ( N \ { K } ) k = ( E ` i ) -> A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) )
22	17, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) )
23		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> K e. N )
24	1, 2	symgextfve 17839	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> ( i = K -> ( E ` i ) = K ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( i = K -> ( E ` i ) = K ) )
26	25	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ i = K ) -> ( E ` i ) = K )
27	26	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ i = K ) -> K = ( E ` i ) )
28	23, 27	rspcedeq2vd 3319	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E. i e. N K = ( E ` i ) )
29		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( k = ( E ` i ) <-> K = ( E ` i ) ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( E. i e. N k = ( E ` i ) <-> E. i e. N K = ( E ` i ) ) )
31	30	ralunsn 4422	. . . . 5 |- ( K e. N -> ( A. k e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) <-> ( A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) /\ E. i e. N K = ( E ` i ) ) ) )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( A. k e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) <-> ( A. k e. ( N \ { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) /\ E. i e. N K = ( E ` i ) ) ) )
33	22, 28, 32	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. k e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) )
34		difsnid 4341	. . . . . 6 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
35	34	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
36	35	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( K e. N -> ( A. k e. N E. i e. N k = ( E ` i ) <-> A. k e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) ) )
37	36	adantr 481	. . 3 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( A. k e. N E. i e. N k = ( E ` i ) <-> A. k e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) E. i e. N k = ( E ` i ) ) )
38	33, 37	mpbird 247	. 2 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. k e. N E. i e. N k = ( E ` i ) )
39		dffo3 6374	. 2 |- ( E : N -onto-> N <-> ( E : N --> N /\ A. k e. N E. i e. N k = ( E ` i ) ) )
40	3, 38, 39	sylanbrc 698	1 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N -onto-> N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgextf1o  17843