Theorem thlle 20041

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	|- K = (toHL ` W )
thlbas.c	|- C = ( CSubSp ` W )
thlle.i	|- I = (toInc ` C )
thlle.l	|- .<_ = ( le ` I )

Assertion

Ref	Expression
thlle	|- .<_ = ( le ` K )

Proof of Theorem thlle

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 |- K = (toHL ` W )
2		thlbas.c	. . . . 5 |- C = ( CSubSp ` W )
3		thlle.i	. . . . 5 |- I = (toInc ` C )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
5	1, 2, 3, 4	thlval 20039	. . . 4 |- ( W e. _V -> K = ( I sSet <. ( oc ` ndx ) , ( ocv ` W ) >. ) )
6	5	fveq2d 6195	. . 3 |- ( W e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( I sSet <. ( oc ` ndx ) , ( ocv ` W ) >. ) ) )
7		thlle.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` I )
8		pleid 16049	. . . . 5 |- le = Slot ( le ` ndx )
9		10re 11517	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. RR
10		1nn0 11308	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
11		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
12		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
13		0lt1 10550	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
14	10, 11, 12, 13	declt 11530	. . . . . . 7 |- ; 1 0 < ; 1 1
15	9, 14	ltneii 10150	. . . . . 6 |- ; 1 0 =/= ; 1 1
16		plendx 16047	. . . . . . 7 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
17		ocndx 16060	. . . . . . 7 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
18	16, 17	neeq12i 2860	. . . . . 6 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 1 )
19	15, 18	mpbir 221	. . . . 5 |- ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx )
20	8, 19	setsnid 15915	. . . 4 |- ( le ` I ) = ( le ` ( I sSet <. ( oc ` ndx ) , ( ocv ` W ) >. ) )
21	7, 20	eqtri 2644	. . 3 |- .<_ = ( le ` ( I sSet <. ( oc ` ndx ) , ( ocv ` W ) >. ) )
22	6, 21	syl6reqr 2675	. 2 |- ( W e. _V -> .<_ = ( le ` K ) )
23	8	str0 15911	. . 3 |- (/) = ( le ` (/) )
24		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( CSubSp ` W ) e. _V
25	2, 24	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- C e. _V
26	3	ipolerval 17156	. . . . . 6 |- ( C e. _V -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) } = ( le ` I ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) } = ( le ` I )
28	7, 27	eqtr4i 2647	. . . 4 |- .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) }
29		opabn0 5006	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) } =/= (/) <-> E. x E. y ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) )
30		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
31		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
32	30, 31	prss 4351	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) <-> { x , y } C_ C )
33		elfvex 6221	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CSubSp ` W ) -> W e. _V )
34	33, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( x e. C -> W e. _V )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. C /\ y e. C ) /\ x C_ y ) -> W e. _V )
36	32, 35	sylanbr 490	. . . . . . 7 |- ( ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) -> W e. _V )
37	36	exlimivv 1860	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) -> W e. _V )
38	29, 37	sylbi 207	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) } =/= (/) -> W e. _V )
39	38	necon1bi 2822	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ C /\ x C_ y ) } = (/) )
40	28, 39	syl5eq 2668	. . 3 |- ( -. W e. _V -> .<_ = (/) )
41		fvprc 6185	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> (toHL ` W ) = (/) )
42	1, 41	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> K = (/) )
43	42	fveq2d 6195	. . 3 |- ( -. W e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` (/) ) )
44	23, 40, 43	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( -. W e. _V -> .<_ = ( le ` K ) )
45	22, 44	pm2.61i 176	1 |- .<_ = ( le ` K )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   {copab 4712   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937  ;cdc 11493   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   lecple 15948   occoc 15949  toInccipo 17151   ocvcocv 20004   CSubSpccss 20005  toHLcthl 20006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-ipo 17152  df-thl 20009

This theorem is referenced by:  thlleval  20042