Theorem ltneii 10150

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltneii	|- A =/= B

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		ltneii.2	. . 3 |- A < B
3	1, 2	gtneii 10149	. 2 |- B =/= A
4	3	necomi 2848	1 |- A =/= B

Syntax hints:   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  1ne2  11240  f1oun2prg  13662  geo2sum  14604  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  plusgndxnmulrndx  15998  basendxnmulrndx  15999  slotsbhcdif  16080  oppchomfval  16374  oppcbas  16378  rescbas  16489  rescabs  16493  odubas  17133  opprlem  18628  rmodislmod  18931  srasca  19181  sravsca  19182  opsrbaslem  19477  opsrbaslemOLD  19478  cnfldfun  19758  zlmlem  19865  zlmsca  19869  znbaslem  19886  znbaslemOLD  19887  thlbas  20040  thlle  20041  matbas  20219  matplusg  20220  tuslem  22071  setsmsbas  22280  tnglem  22444  ppiub  24929  2lgslem3  25129  2lgslem4  25131  ttgval  25755  ttglem  25756  slotsbaseefdif  25873  structvtxvallem  25909  usgrexmpldifpr  26150  upgr4cycl4dv4e  27045  konigsbergiedgw  27108  konigsberglem3  27116  konigsberglem5  27118  ex-dif  27280  ex-id  27291  ex-fv  27300  ex-mod  27306  resvbas  29832  resvplusg  29833  resvmulr  29835  hlhilslem  37230  rabren3dioph  37379  xrlexaddrp  39568  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  fouriersw  40448  nnsum4primesodd  41684  nnsum4primesoddALTV  41685  zlmodzxznm  42286  2p2ne5  42544