Theorem usgredg2v 26119

Description: In a simple graph, the mapping of edges having a fixed endpoint to the other vertex of the edge is a one-to-one function into the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
usgredg2v.f	|- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )

Assertion

Ref	Expression
usgredg2v	|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   y, A   y, E, x, z   y, G   y, N   y, V

Allowed substitution hints:   A( x, z)   F( x, y, z)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2v

Dummy variables w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		usgredg2v.e	. . . . 5 |- E = (iEdg ` G )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	1, 2, 3	usgredg2vlem1 26117	. . . 4 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
5	4	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( G e. USGraph -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
7	2	usgrf1 26067	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> E : dom E -1-1-> ran E )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
9		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> y e. dom E )
10	9, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. dom E )
11		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> w e. dom E )
12	11, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A -> w e. dom E )
13	10, 12	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> ( y e. dom E /\ w e. dom E ) )
14		f1fveq 6519	. . . . . . . 8 |- ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ ( y e. dom E /\ w e. dom E ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
15	8, 13, 14	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
16	15	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( y = w <-> ( E ` y ) = ( E ` w ) ) )
17	16	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. y = w <-> -. ( E ` y ) = ( E ` w ) ) )
18		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> G e. USGraph )
19		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> y e. A )
20	18, 19	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ y e. A ) )
21		preq1 4268	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> { u , N } = { z , N } )
22	21	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( ( E ` y ) = { u , N } <-> ( E ` y ) = { z , N } ) )
23	22	cbvriotav 6622	. . . . . . . . 9 |- ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } )
24	1, 2, 3	usgredg2vlem2 26118	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } ) )
25	20, 23, 24	mpisyl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } )
26		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> w e. A )
27	18, 26	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ w e. A ) )
28	21	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( ( E ` w ) = { u , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
29	28	cbvriotav 6622	. . . . . . . . 9 |- ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } )
30	1, 2, 3	usgredg2vlem2 26118	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ w e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
31	27, 29, 30	mpisyl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } )
32	25, 31	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
33	32	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> -. { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
34		riotaex 6615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
36		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> N e. V )
37		riotaex 6615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
39		preq12bg 4386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) /\ ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
40	35, 36, 38, 36, 39	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. V -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
41	40	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> ( -. { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( -. { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
43		ioran 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) <-> ( -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) /\ -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) )
44		ianor 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) <-> ( -. ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) \/ -. N = N ) )
45	23, 29	eqeq12i 2636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) <-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
46	45	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) <-> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
47	46	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
48	47	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = N
50	49	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. N = N -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
51	48, 50	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) \/ -. N = N ) -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
52	44, 51	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) /\ -. ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
54	43, 53	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) -> ( G e. USGraph -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
55	54	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( -. ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
57	42, 56	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( -. { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
59	33, 58	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. ( E ` y ) = ( E ` w ) -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
60	17, 59	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. y = w -> -. ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) )
61	60	con4d 114	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
62	61	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
63		usgredg2v.f	. . 3 |- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )
64		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = w -> ( E ` y ) = ( E ` w ) )
65	64	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( y = w -> ( ( E ` y ) = { z , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
66	65	riotabidv 6613	. . 3 |- ( y = w -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
67	63, 66	f1mpt 6518	. 2 |- ( F : A -1-1-> V <-> ( A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V /\ A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) ) )
68	6, 62, 67	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   iota_crio 6610  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  usgriedgleord  26120