Theorem uzwo 11751

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable group:   j, k, S

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables t h n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = M -> ( h <_ t <-> M <_ t ) )
2	1	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = M -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S M <_ t ) )
3	2	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = M -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) ) )
4		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = m -> ( h <_ t <-> m <_ t ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = m -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = m -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) ) )
7		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( h <_ t <-> ( m + 1 ) <_ t ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
10		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h <_ t <-> n <_ t ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = n -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
12	11	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = n -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) ) )
13		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> t e. ( ZZ>= ` M ) ) )
14		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ t )
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> M <_ t ) )
16	15	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> A. t e. S M <_ t )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) )
19		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ ) -> S C_ ZZ )
21	19, 20	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ZZ )
22		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
23		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( j <_ t <-> m <_ t ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
25	24	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. S /\ A. t e. S m <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
26	25	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. t e. S m <_ t -> ( m e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
27	26	con3rr3 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> -. m e. S ) )
28		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ ZZ /\ t e. S ) -> t e. ZZ )
29		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
30		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. ZZ -> t e. RR )
31		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. RR /\ t e. RR ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
33		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> t < ( m + 1 ) ) )
34		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m + 1 ) e. RR )
36		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t e. RR /\ ( m + 1 ) e. RR ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
37	30, 35, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
38	33, 37	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
39	38	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
40	39	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( m <_ t /\ t <_ m ) <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
41	32, 40	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
42	28, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
43		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. S -> ( m = t -> m e. S ) )
44	43	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t -> m e. S ) )
45	42, 44	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) -> m e. S ) )
46	45	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) ) )
47		con1 143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) )
48	46, 47	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
50	49	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( t e. S -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
51	50	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( -. m e. S -> ( t e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
52	51	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) /\ t e. S ) -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) )
53	52	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) -> ( -. m e. S -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
55	27, 54	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
56	55	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
57	56	expl 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
58	22, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
59	21, 58	sylani 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
60	59	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
61	3, 6, 9, 12, 18, 60	uzind4 11746	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) )
62		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> ( j <_ t <-> n <_ t ) )
63	62	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = n -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
64	63	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. S /\ A. t e. S n <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
65	64	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. S n <_ t -> ( n e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
66	65	con3rr3 151	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
68	61, 67	sylcom 30	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
69		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( n e. S -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
70	69	con3rr3 151	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> -. n e. S ) )
71	70	adantrd 484	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
72	68, 71	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S )
73	72	ex 450	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> -. n e. S ) )
74	73	alrimdv 1857	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> A. n -. n e. S ) )
75		eq0 3929	. . . . 5 |- ( S = (/) <-> A. n -. n e. S )
76	74, 75	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> S = (/) ) )
77	76	necon1ad 2811	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( S =/= (/) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
78	77	imp 445	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
79		breq2 4657	. . . 4 |- ( t = k -> ( j <_ t <-> j <_ k ) )
80	79	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. t e. S j <_ t <-> A. k e. S j <_ k )
81	80	rexbii 3041	. 2 |- ( E. j e. S A. t e. S j <_ t <-> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
82	78, 81	sylib 208	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzwo2  11752  nnwo  11753  infssuzle  11771  infssuzcl  11772  uzwo4  39221