Theorem uzwo4 39221

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo4.1	|- F/ j ps
uzwo4.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
uzwo4	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) )

Distinct variable groups:   k, M   S, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( j, k)   M( j)

Proof of Theorem uzwo4

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { j e. S | ph } C_ S
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> { j e. S | ph } C_ S )
3		id 22	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
4	2, 3	sstrd 3613	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> { j e. S | ph } C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> { j e. S | ph } C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		rabn0 3958	. . . . . 6 |- ( { j e. S | ph } =/= (/) <-> E. j e. S ph )
7	6	bicomi 214	. . . . 5 |- ( E. j e. S ph <-> { j e. S | ph } =/= (/) )
8	7	biimpi 206	. . . 4 |- ( E. j e. S ph -> { j e. S | ph } =/= (/) )
9	8	adantl 482	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> { j e. S | ph } =/= (/) )
10		uzwo 11751	. . 3 |- ( ( { j e. S | ph } C_ ( ZZ>= ` M ) /\ { j e. S | ph } =/= (/) ) -> E. i e. { j e. S | ph } A. k e. { j e. S | ph } i <_ k )
11	5, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> E. i e. { j e. S | ph } A. k e. { j e. S | ph } i <_ k )
12	1	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( i e. { j e. S | ph } -> i e. S )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> i e. S )
14	13	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> i e. S )
15		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j i
16		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j S
17	15	nfsbc1 3454	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [. i / j ]. ph
18		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( ph <-> [. i / j ]. ph ) )
19	15, 16, 17, 18	elrabf 3360	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. { j e. S | ph } <-> ( i e. S /\ [. i / j ]. ph ) )
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. { j e. S | ph } -> ( i e. S /\ [. i / j ]. ph ) )
21	20	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( i e. { j e. S | ph } -> [. i / j ]. ph )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> [. i / j ]. ph )
23	22	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> [. i / j ]. ph )
24		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k S C_ ( ZZ>= ` M )
25		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k i e. { j e. S | ph }
26		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ k A. k e. { j e. S | ph } i <_ k
27	24, 25, 26	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ k ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k )
28		simpl13 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) /\ ps ) -> A. k e. { j e. S | ph } i <_ k )
29		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) /\ ps ) -> k e. S )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) /\ ps ) -> ps )
31		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. { j e. S | ph } i <_ k /\ k e. S ) /\ ps ) -> A. k e. { j e. S | ph } i <_ k )
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. S /\ ps ) -> ( k e. S /\ ps ) )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j k
34		uzwo4.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ps
35		uzwo4.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( ph <-> ps ) )
36	33, 16, 34, 35	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { j e. S | ph } <-> ( k e. S /\ ps ) )
37	32, 36	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. S /\ ps ) -> k e. { j e. S | ph } )
38	37	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. { j e. S | ph } i <_ k /\ k e. S ) /\ ps ) -> k e. { j e. S | ph } )
39		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. { j e. S | ph } i <_ k /\ k e. { j e. S | ph } ) -> i <_ k )
40	31, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. k e. { j e. S | ph } i <_ k /\ k e. S ) /\ ps ) -> i <_ k )
41	28, 29, 30, 40	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) /\ ps ) -> i <_ k )
42	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
43		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } ) -> i e. ZZ )
45	44	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } ) -> i e. RR )
46	45	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> i e. RR )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) -> i e. RR )
48		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ k e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ k e. S ) -> k e. ZZ )
51	50	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ k e. S ) -> k e. RR )
52	51	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S ) -> k e. RR )
53	52	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) -> k e. RR )
54		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) -> k < i )
55		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. RR /\ k e. RR /\ k < i ) -> k < i )
56		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. RR /\ k e. RR /\ k < i ) -> k e. RR )
57		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. RR /\ k e. RR /\ k < i ) -> i e. RR )
58	56, 57	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. RR /\ k e. RR /\ k < i ) -> ( k < i <-> -. i <_ k ) )
59	55, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. RR /\ k e. RR /\ k < i ) -> -. i <_ k )
60	47, 53, 54, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) -> -. i <_ k )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) /\ ps ) -> -. i <_ k )
62	41, 61	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) /\ k e. S /\ k < i ) -> -. ps )
63	62	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> ( k e. S -> ( k < i -> -. ps ) ) )
64	27, 63	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> A. k e. S ( k < i -> -. ps ) )
65	23, 64	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> ( [. i / j ]. ph /\ A. k e. S ( k < i -> -. ps ) ) )
66		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j k < i
67	34	nfn 1784	. . . . . . . . . 10 |- F/ j -. ps
68	66, 67	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( k < i -> -. ps )
69	16, 68	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ j A. k e. S ( k < i -> -. ps )
70	17, 69	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ j ( [. i / j ]. ph /\ A. k e. S ( k < i -> -. ps ) )
71		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( k < j <-> k < i ) )
72	71	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( k < j -> -. ps ) <-> ( k < i -> -. ps ) ) )
73	72	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( A. k e. S ( k < j -> -. ps ) <-> A. k e. S ( k < i -> -. ps ) ) )
74	18, 73	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) <-> ( [. i / j ]. ph /\ A. k e. S ( k < i -> -. ps ) ) ) )
75	70, 74	rspce 3304	. . . . . 6 |- ( ( i e. S /\ ( [. i / j ]. ph /\ A. k e. S ( k < i -> -. ps ) ) ) -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) )
76	14, 65, 75	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ i e. { j e. S | ph } /\ A. k e. { j e. S | ph } i <_ k ) -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) )
77	76	3exp 1264	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( i e. { j e. S | ph } -> ( A. k e. { j e. S | ph } i <_ k -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) ) ) )
78	77	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. i e. { j e. S | ph } A. k e. { j e. S | ph } i <_ k -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) ) )
79	78	adantr 481	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> ( E. i e. { j e. S | ph } A. k e. { j e. S | ph } i <_ k -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) ) )
80	11, 79	mpd 15	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. j e. S ph ) -> E. j e. S ( ph /\ A. k e. S ( k < j -> -. ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  iundjiun  40677