Theorem infssuzcl 11772

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcl	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )

Proof of Theorem infssuzcl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 11707	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
2		zssre 11384	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 3612	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4		sstr 3611	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ RR ) -> S C_ RR )
5	3, 4	mpan2 707	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ RR )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> S C_ RR )
7		uzwo 11751	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
8		lbinfcl 10977	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. j e. S A. k e. S j <_ k ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  zsupss  11777  uzwo3  11783  divalglem2  15118  bitsfzolem  15156  bezoutlem2  15257  lcmcllem  15309  lcmfval  15334  lcmfcllem  15338  odzcllem  15497  4sqlem13  15661  4sqlem14  15662  4sqlem17  15665  4sqlem18  15666  vdwnnlem3  15701  ramcl2lem  15713  ramtcl  15714  odlem1  17954  odlem2  17958  gexlem1  17994  gexlem2  17997  zringlpirlem2  19833  zringlpirlem3  19834  ovolicc2lem4  23288  iundisj  23316  ig1peu  23931  ig1pdvds  23936  elqaalem1  24074  elqaalem3  24076  ftalem4  24802  ftalem5  24803  iundisjf  29402  iundisjfi  29555  dgraalem  37715  allbutfiinf  39647  ioodvbdlimc1lem1  40146  fourierdlem31  40355  elaa2lem  40450  etransclem48  40499