Theorem wrdlen2i 13686

Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	|- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
2		1ex 10035	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( S e. V /\ T e. V ) )
5		0ne1 11088	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> 0 =/= 1 )
7		fprg 6422	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( S e. V /\ T e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1429	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
9		fzo0to2pr 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
10	9	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 ) )
12	11	feq2d 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } ) )
13	12	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } )
14		prssi 4353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { S , T } C_ V )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { S , T } C_ V )
16	13, 15	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
17	16	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
19	18	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
20		feq1 6026	. . . . . . . 8 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
23	19, 22	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
24	8, 23	mpancom 703	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
25		iswrdi 13309	. . . 4 |- ( W : ( 0..^ 2 ) --> V -> W e. Word V )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W e. Word V )
27		fveq2 6191	. . . 4 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( # ` W ) = ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) )
28	5	neii 2796	. . . . . . 7 |- -. 0 = 1
29		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> S e. V )
30		opth1g 4947	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
31	1, 29, 30	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
32	28, 31	mtoi 190	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> -. <. 0 , S >. = <. 1 , T >. )
33	32	neqned 2801	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. )
34		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. 0 , S >. e. _V
35		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. 1 , T >. e. _V
36	34, 35	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V )
37		hashprg 13182	. . . . . 6 |- ( ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
39	33, 38	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 )
40	27, 39	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( # ` W ) = 2 )
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 =/= 1 )
42		fvpr1g 6458	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1429	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
44		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> T e. V )
45		fvpr2g 6459	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ T e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1429	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
47	43, 46	jca 554	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
48	47	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
49		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 0 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 0 ) = S <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S ) )
51		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 1 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) )
52	51	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 1 ) = T <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
53	50, 52	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
54	53	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
55	48, 54	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) )
56	26, 40, 55	jca31 557	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) )
57	56	ex 450	1 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  wrdlen2  13688  wwlktovfo  13701