Theorem xrsmcmn 19769

Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrsmgmdifsgrp 19783.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	|- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- (mulGrp ` RR*s ) = (mulGrp ` RR*s )
2		xrsbas 19762	. . . . 5 |- RR* = ( Base ` RR*s )
3	1, 2	mgpbas 18495	. . . 4 |- RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
5		xrsmul 19764	. . . . 5 |- xe = ( .r ` RR*s )
6	1, 5	mgpplusg 18493	. . . 4 |- xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
8		xmulcl 12103	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
9	8	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
10		xmulass 12117	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
12		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
13		rexr 10085	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. RR* )
15		xmulid2 12110	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( 1 xe x ) = x )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( 1 xe x ) = x )
17		xmulid1 12109	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x xe 1 ) = x )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( x xe 1 ) = x )
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 17313	. . 3 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. Mnd )
20		xmulcom 12096	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
21	20	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 18205	. 2 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd )
23	22	trud 1493	1 |- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Syntax hints:   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   xecxmu 11945   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   RR*scxrs 16160  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xneg 11946  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cmn 18195  df-mgp 18490

This theorem is referenced by: (None)