Theorem zm1nn 41316

Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zm1nn	|- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( J e. RR /\ 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )

Proof of Theorem zm1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> 0 e. RR )
2		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> J e. RR )
3		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
4		nn0re 11301	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. RR /\ N e. RR ) -> ( L - N ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L - N ) e. RR )
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( L - N ) e. RR )
8		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 |- ( ( L - N ) e. RR -> ( ( L - N ) - 1 ) e. RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( L - N ) - 1 ) e. RR )
10		lelttr 10128	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ J e. RR /\ ( ( L - N ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> 0 < ( ( L - N ) - 1 ) ) )
11	1, 2, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> 0 < ( ( L - N ) - 1 ) ) )
12		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> 1 e. RR )
13	12, 6	posdifd 10614	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( 1 < ( L - N ) <-> 0 < ( ( L - N ) - 1 ) ) )
14	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> N e. RR )
15	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	12, 14, 15	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( 1 + N ) < L <-> 1 < ( L - N ) ) )
17		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
18		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> 0 e. RR )
19		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> N e. RR )
21		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> 1 e. RR )
22	18, 20, 21	leadd2d 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> ( 1 + 0 ) <_ ( 1 + N ) ) )
23		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
24		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
25	23, 24	readdcli 10053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 0 ) e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 1 + 0 ) e. RR )
27		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
28	27, 19	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( 1 + N ) e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 1 + N ) e. RR )
30	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
31		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 + 0 ) e. RR /\ ( 1 + N ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( ( 1 + 0 ) <_ ( 1 + N ) /\ ( 1 + N ) < L ) -> ( 1 + 0 ) < L ) )
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( ( 1 + 0 ) <_ ( 1 + N ) /\ ( 1 + N ) < L ) -> ( 1 + 0 ) < L ) )
33		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( L - 1 ) e. ZZ )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L - 1 ) e. ZZ )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 1 + 0 ) < L ) -> ( L - 1 ) e. ZZ )
36		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. ZZ -> 1 e. RR )
37		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. ZZ -> 0 e. RR )
38	36, 37, 3	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. ZZ -> ( ( 1 + 0 ) < L <-> 0 < ( L - 1 ) ) )
39	38	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( ( 1 + 0 ) < L -> 0 < ( L - 1 ) ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 1 + 0 ) < L -> 0 < ( L - 1 ) ) )
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 1 + 0 ) < L ) -> 0 < ( L - 1 ) )
42		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L - 1 ) e. NN <-> ( ( L - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( L - 1 ) ) )
43	35, 41, 42	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 1 + 0 ) < L ) -> ( L - 1 ) e. NN )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 1 + 0 ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) )
45	32, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( ( 1 + 0 ) <_ ( 1 + N ) /\ ( 1 + N ) < L ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
46	45	expd 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 1 + 0 ) <_ ( 1 + N ) -> ( ( 1 + N ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
47	22, 46	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> ( ( 1 + N ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
48	47	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( L e. ZZ -> ( ( 1 + N ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
49	17, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( ( 1 + N ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
50	49	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( 1 + N ) < L -> ( L - 1 ) e. NN ) )
51	16, 50	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( 1 < ( L - N ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
52	13, 51	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < ( ( L - N ) - 1 ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
53	52	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0 < ( ( L - N ) - 1 ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
54	11, 53	syld 47	. . . . 5 |- ( ( J e. RR /\ ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
55	54	ex 450	. . . 4 |- ( J e. RR -> ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
56	55	com23 86	. . 3 |- ( J e. RR -> ( ( 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L - 1 ) e. NN ) ) )
57	56	3impib 1262	. 2 |- ( ( J e. RR /\ 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )
58	57	com12 32	1 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( J e. RR /\ 0 <_ J /\ J < ( ( L - N ) - 1 ) ) -> ( L - 1 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)