Theorem posdifd 10614

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
posdifd	|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		posdif 10521	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  possumd  10652  ltmul1a  10872  cshwcsh2id  13574  sqrlem7  13989  fsumlt  14532  bpoly4  14790  sin01gt0  14920  nno  15098  pythagtriplem10  15525  evth  22758  minveclem4  23203  ismbf3d  23421  itg2seq  23509  dvferm1lem  23747  dvferm2lem  23749  mvth  23755  dvlip  23756  dvgt0  23767  dvlt0  23768  dvge0  23769  dvcvx  23783  ftc1lem4  23802  pilem2  24206  cosordlem  24277  lgamgulmlem2  24756  lgsquadlem1  25105  brbtwn2  25785  axpaschlem  25820  axcontlem8  25851  crctcshwlkn0  26713  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwwlksext2edg  26923  minvecolem4  27736  sgnsub  30606  signslema  30639  fdvposlt  30677  tgoldbachgtde  30738  dnibndlem5  32472  unbdqndv2lem2  32501  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem21  32523  poimirlem7  33416  itg2addnclem  33461  itg2gt0cn  33465  ftc1cnnclem  33483  areacirclem1  33500  areacirc  33505  irrapxlem3  37388  pell14qrgt0  37423  rmspecnonsq  37472  rmspecfund  37474  rmspecpos  37481  jm3.1lem1  37584  radcnvrat  38513  supxrgere  39549  supxrgelem  39553  dvbdfbdioolem1  40143  dvbdfbdioolem2  40144  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  stirlinglem11  40301  fourierdlem4  40328  fourierdlem6  40330  fourierdlem7  40331  fourierdlem19  40343  fourierdlem26  40350  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem61  40384  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem71  40394  fourierdlem79  40402  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fouriersw  40448  etransclem15  40466  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem35  40486  ioorrnopnlem  40524  hoidmvlelem2  40810  hoiqssbllem2  40837  iunhoiioolem  40889  zm1nn  41316  nnoALTV  41606  fllog2  42362  dignn0flhalflem1  42409