Theorem 2zrngmmgm 41946

Description: R is a (multiplicative) magma. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		zmulcl 11426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	ad2ant2r 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
10		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℤ
11		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℤ
12		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)
13	11, 12	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))
14		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)
15	13, 14	nfim 1825	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
16	10, 15	nfim 1825	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
17		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℤ)
19		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
21		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → (2 · 𝑦) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
22	21	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) ∧ 𝑦 = (𝑥 · 𝑏)) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
25	24	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
26		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	26, 28, 31	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ((2 · 𝑥) · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
33	25, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
34	20, 23, 33	rspcedvd 3317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
35	34	exp41 638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))))
36	16, 35	rexlimi 3024	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))))
37	36	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
38	37	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
39		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
40	39	rexbidv 3052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
41	40, 3	elrab2 3366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
42		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
44	43	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
45	44	anbi2i 730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
46	41, 45	bitri 264	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
47	9, 38, 46	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
48	4, 7, 47	syl2anb 496	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	rgen2a 2977	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸
50	3	0even 41931	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
51		2zrngmmgm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
52		2zrngbas.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
53	3, 52	2zrngbas 41936	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
54	51, 53	mgpbas 18495	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
55	3, 52	2zrngmul 41945	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	51, 55	mgpplusg 18493	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
57	54, 56	ismgmn0 17244	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸))
58	50, 57	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
59	49, 58	mpbir 221	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941  2c2 11070  ℤcz 11377   ↾_s cress 15858  Mgmcmgm 17240  mulGrpcmgp 18489  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-mgm 17242  df-mgp 18490  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  2zrngmsgrp  41947