Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2rp 11837 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
2 | | rpdivcl 11856 |
. . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 /
𝐵) ∈
ℝ+) |
3 | 1, 2 | mpan 706 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ (2 / 𝐵) ∈
ℝ+) |
4 | 3 | rpred 11872 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ (2 / 𝐵) ∈
ℝ) |
5 | | 2re 11090 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℝ |
6 | | 1lt2 11194 |
. . . . 5
⊢ 1 <
2 |
7 | | expnbnd 12993 |
. . . . 5
⊢ (((2 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ 2
∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎)) |
8 | 5, 6, 7 | mp3an23 1416 |
. . . 4
⊢ ((2 /
𝐵) ∈ ℝ →
∃𝑎 ∈ ℕ (2
/ 𝐵) < (2↑𝑎)) |
9 | 4, 8 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ ∃𝑎 ∈
ℕ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎)) |
10 | 9 | adantl 482 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑎 ∈
ℕ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎)) |
11 | | simprl 794 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℕ) |
12 | | simpll 790 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℕ) |
13 | | nnaddm1cl 11434 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ) |
14 | 11, 12, 13 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ) |
15 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐵 ∈
ℝ+) |
16 | | rerpdivcl 11861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐵
∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ) |
17 | 5, 15, 16 | sylancr 695 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ∈
ℝ) |
18 | 11 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℕ0) |
19 | | reexpcl 12877 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝑎
∈ ℕ0) → (2↑𝑎) ∈ ℝ) |
20 | 5, 18, 19 | sylancr 695 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑𝑎) ∈
ℝ) |
21 | 11, 12 | nnaddcld 11067 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ) |
22 | | nnm1nn0 11334 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ0) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ0) |
24 | | peano2nn0 11333 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0
→ (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℕ0) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℕ0) |
26 | | faccl 13070 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0
→ (!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ) |
28 | 27 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℤ) |
29 | | faccl 13070 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0
→ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℕ) |
30 | 23, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℕ) |
31 | 30 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℤ) |
32 | 12 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℤ) |
33 | 31, 32 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈
ℤ) |
34 | 28, 33 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
ℤ) |
35 | | rpexpcl 12879 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ+) |
36 | 1, 34, 35 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ+) |
37 | 36 | rpred 11872 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ) |
38 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) < (2↑𝑎)) |
39 | 17, 20, 38 | ltled 10185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤ (2↑𝑎)) |
40 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2
∈ ℝ) |
41 | | 1le2 11241 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ≤
2 |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1 ≤
2) |
43 | 11 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℝ) |
44 | 30 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℝ) |
45 | 18 | nn0ge0d 11354 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 0 ≤
𝑎) |
46 | 30 | nnge1d 11063 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1 ≤
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) |
47 | 43, 44, 45, 46 | lemulge12d 10962 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
48 | | facp1 13065 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0
→ (!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) =
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
49 | 23, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) =
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
50 | 49 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
51 | 30 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℂ) |
52 | 25 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℂ) |
53 | 12 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℂ) |
54 | 51, 52, 53 | subdid 10486 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
55 | 21 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ) |
56 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1
∈ ℂ) |
57 | 55, 56 | npcand 10396 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴)) |
58 | 57 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = ((𝑎 + 𝐴) − 𝐴)) |
59 | 11 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℂ) |
60 | 59, 53 | pncand 10393 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑎) |
61 | 58, 60 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎) |
62 | 61 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
63 | 50, 54, 62 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
64 | 47, 63 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
65 | 11 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℤ) |
66 | | eluz 11701 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) →
(((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
67 | 65, 34, 66 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
68 | 64, 67 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎)) |
69 | 40, 42, 68 | leexp2ad 13041 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑𝑎) ≤
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
70 | 17, 20, 37, 39, 69 | letrd 10194 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
71 | | rpcnne0 11850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (2 ∈
ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
72 | 1, 71 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
73 | | expsub 12908 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)))) |
74 | 72, 28, 33, 73 | syl12anc 1324 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)))) |
75 | | 2cn 11091 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℂ |
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2
∈ ℂ) |
77 | 12 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℕ0) |
78 | 30 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℕ0) |
79 | 76, 77, 78 | expmuld 13011 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)) =
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) |
80 | 79 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴))) =
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
81 | | rpexpcl 12879 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℝ+) |
82 | 1, 28, 81 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℝ+) |
83 | 82 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℂ) |
84 | | rpexpcl 12879 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) →
(2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1))) ∈
ℝ+) |
85 | 1, 31, 84 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1))) ∈
ℝ+) |
86 | 85, 32 | rpexpcld 13032 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈
ℝ+) |
87 | 86 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈
ℂ) |
88 | 86 | rpne0d 11877 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0) |
89 | 83, 87, 88 | divrecd 10804 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
90 | 74, 80, 89 | 3eqtrrd 2661 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
91 | 70, 90 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
92 | 86 | rpreccld 11882 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈
ℝ+) |
93 | 82, 92 | rpmulcld 11888 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ+) |
94 | 93 | rpred 11872 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ) |
95 | 40, 94, 15 | ledivmuld 11925 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((2 /
𝐵) ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))))) |
96 | 91, 95 | mpbid 222 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2 ≤
(𝐵 ·
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
97 | 15 | rpcnd 11874 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐵 ∈
ℂ) |
98 | 92 | rpcnd 11874 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈
ℂ) |
99 | 97, 83, 98 | mul12d 10245 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 ·
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
100 | 96, 99 | breqtrd 4679 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2 ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
101 | 15, 92 | rpmulcld 11888 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ+) |
102 | 101 | rpred 11872 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ) |
103 | 40, 102, 82 | ledivmuld 11925 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))))) |
104 | 100, 103 | mpbird 247 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
105 | 27 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ0) |
106 | | expneg 12868 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ0) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
107 | 75, 105, 106 | sylancr 695 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) = (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
108 | 107 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1)))))) |
109 | 82 | rpne0d 11877 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ≠
0) |
110 | 76, 83, 109 | divrecd 10804 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) = (2
· (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))) |
111 | 108, 110 | eqtr4d 2659 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
112 | 97, 87, 88 | divrecd 10804 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
113 | 104, 111,
112 | 3brtr4d 4685 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
114 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝑥 + 1) = (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) |
115 | 114 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
116 | 115 | negeqd 10275 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
117 | 116 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) =
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1)))) |
118 | 117 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))) |
119 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) |
120 | 119 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))) |
121 | 120 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) |
122 | 121 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
123 | 118, 122 | breq12d 4666 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) ≤ (𝐵 /
((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 ·
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
124 | 123 | rspcev 3309 |
. . 3
⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) ≤ (𝐵 /
((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |
125 | 14, 113, 124 | syl2anc 693 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
∃𝑥 ∈ ℕ (2
· (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |
126 | 10, 125 | rexlimddv 3035 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑥 ∈
ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |