Theorem nnge1d 11063

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 11046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  1c1 9937   ≤ cle 10075  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  bernneq3  12992  facwordi  13076  faclbnd  13077  faclbnd3  13079  faclbnd4lem3  13082  facavg  13088  hashge1  13178  seqcoll  13248  wrdind  13476  wrd2ind  13477  eftlub  14839  eflegeo  14851  eirrlem  14932  divdenle  15457  eulerthlem2  15487  infpnlem2  15615  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  prmolefac  15750  2expltfac  15799  cshwshash  15811  fislw  18040  gzrngunitlem  19811  ovoliunlem1  23270  aalioulem2  24088  aalioulem4  24090  aalioulem5  24091  aaliou2b  24096  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem8  24100  lgamgulmlem5  24759  vmage0  24847  chpge0  24852  vma1  24892  sqff1o  24908  fsumfldivdiaglem  24915  vmalelog  24930  chtublem  24936  fsumvma2  24939  chpchtsum  24944  logfacubnd  24946  perfectlem2  24955  dchrelbas4  24968  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem5  25013  lgsdir  25057  lgsdilem2  25058  lgseisenlem1  25100  2sqlem8  25151  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  dchrisumlem3  25180  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0lem1b  25204  dirith2  25217  selbergb  25238  selberg3lem2  25247  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntlemj  25292  pntlemk  25295  clwlksfoclwwlk  26963  submateqlem2  29874  nexple  30071  plymulx0  30624  hgt750lemb  30734  poimirlem7  33416  poimirlem19  33428  poimirlem28  33437  diophin  37336  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  pell14qrgapw  37440  pellfundgt1  37447  ltrmynn0  37515  jm2.27c  37574  jm3.1lem2  37585  fzisoeu  39514  fmuldfeq  39815  stoweidlem3  40220  stoweidlem20  40237  stoweidlem42  40259  stoweidlem51  40268  stoweidlem59  40276  stirlinglem8  40298  fourierdlem11  40335  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem79  40402  etransclem23  40474  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem44  40495  etransc  40500  hoicvrrex  40770  iccpartlt  41360  lighneallem4a  41525  perfectALTVlem2  41631