Theorem rpreccld 11882

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 11857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  1c1 9937   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rprecred  11883  resqrex  13991  rlimno1  14384  supcvg  14588  harmonic  14591  expcnv  14596  eirrlem  14932  prmreclem5  15624  prmreclem6  15625  met1stc  22326  met2ndci  22327  nmoi2  22534  bcthlem5  23125  ovolsca  23283  vitali  23382  ismbf3d  23421  itg2seq  23509  itg2mulclem  23513  itg2mulc  23514  aalioulem3  24089  aaliou3lem8  24100  dvradcnv  24175  tanregt0  24285  divlogrlim  24381  advlogexp  24401  logtayllem  24405  divcxp  24433  cxpcn3lem  24488  loglesqrt  24499  logbrec  24520  ang180lem2  24540  asinlem3  24598  leibpi  24669  rlimcnp2  24693  efrlim  24696  cxplim  24698  cxp2lim  24703  divsqrtsumlem  24706  amgmlem  24716  emcllem2  24723  emcllem4  24725  emcllem5  24726  emcllem6  24727  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem5  24759  lgambdd  24763  basellem3  24809  basellem6  24812  logfaclbnd  24947  bclbnd  25005  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisum0lem2a  25206  log2sumbnd  25233  logdivbnd  25245  pntlemo  25296  smcnlem  27552  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  esumdivc  30145  dya2ub  30332  omssubadd  30362  logdivsqrle  30728  iprodgam  31628  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  faclim  31632  iprodfac  31633  poimirlem29  33438  poimirlem30  33439  heiborlem3  33612  heiborlem6  33615  heiborlem8  33617  heibor  33620  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  oddfl  39489  xralrple4  39589  xrralrecnnge  39613  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  stoweid  40280  wallispi  40287  stirlinglem1  40291  stirlinglem6  40296  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem2  40321  iinhoiicc  40888  iunhoiioo  40890  vonioolem2  40895  vonicclem1  40897  amgmlemALT  42549  young2d  42551