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Theorem atans2 24658

Description: It suffices to show that 1 − i𝐴 and 1 + i𝐴 are in the continuity domain of log to show that 𝐴 is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

**Assertion**
Ref	Expression
atans2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐷 Allowed substitution hint: 𝑆(𝑦)

**Proof of Theorem atans2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	2	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2))
4	3	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2))
5	2	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
6		sqeqor 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
7	5, 6	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
8	4, 7	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))
9		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ)
11	2	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2)))
13		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
15	13, 2, 14	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
17		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
18		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)))
20	17, 18, 19	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
21	16, 20	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
22	21	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
23		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	15, 24	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ)
27		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
28		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ 1)
30		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
31	13, 2, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
32	21	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)
33	31, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0)
34		suble0 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
35	9, 26, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
36	33, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2))
37	27, 10, 26, 29, 36	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2))
38	26, 37	sqrtnegd 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
39	12, 38	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
41		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → i ∈ ℂ)
43	26, 37	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
45	42, 42, 44	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
46		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
47	46	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 · (√‘-(𝐴↑2)))
48	44	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
49	47, 48	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
50	40, 45, 49	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
51	43	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ)
53	10, 52	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
54		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
56	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2))))
57		negsub 10329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
58	13, 44, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
60		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) = 1)
62	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ)
63	62	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2))
64	36, 61, 63	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2))
65	26, 37	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
66	10, 43, 29, 65	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)))
67	64, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
68	10, 43	suble0d 10618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))))
69	67, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0)
70	59, 69	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)
71		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)))
72	17, 18, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))
73	53, 55, 70, 72	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · (√‘(𝐴↑2))))
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
76	75	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
77	73, 76	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
78		mulneg2 10467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
79	41, 5, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))))
81		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
82	41, 5, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
83		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
84	13, 82, 83	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
85	80, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
86	85, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
87		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · -(√‘(𝐴↑2))))
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) = (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))))
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
90	86, 89	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
91	77, 90	orim12d 883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
92	8, 91	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
93	92	orcomd 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
94	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1↑2) = 1)
95		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
96	41, 95	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
97		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i↑2) = -1
98	97	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
99	1	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
100	98, 99	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
101	96, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
102	94, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
103		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
104	41, 103	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
105		subsq 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
106	13, 104, 105	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
107	13, 1, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
108	102, 106, 107	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
109	108	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
110		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
112	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
113	111, 112, 104	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴)))
114		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
115	114	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 − 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴))
116	113, 115	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
118		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
119		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
120		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)))
121	17, 18, 120	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
122	119, 121	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
123	122	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
124		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
125	118, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
126	117, 125	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
127	126, 123	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
128		mnflt 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
130	122	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)
131		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
132	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
133		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
135	110	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 0) = 2
136	123, 131, 132, 130	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
137	135, 136	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
138	137, 117	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
139	131, 132, 126, 134, 138	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
140		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i · 𝐴)))) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
141	123, 131, 126, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
142	130, 141	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0))
143		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
144	13, 104, 143	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
146	145	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0)
147	142, 146	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
148		elioc2 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)))
149	17, 18, 148	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0))
150	127, 129, 147, 149	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
151		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
152		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)))
153	17, 18, 152	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
154	151, 153	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
155	154	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
156	114	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴))
157	111, 112, 104	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴))))
158	156, 157	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
160		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
161	118, 155, 160	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
162	159, 161	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
163	155, 162	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
164	163, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
165	154	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)
166		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
167	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
168	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
169	155, 166, 167, 165	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
170	135, 169	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
171	170, 159	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
172	166, 167, 162, 168, 171	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
173		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i · 𝐴)))) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
174	155, 166, 162, 172, 173	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
175	165, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴))))
176	162	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
177	176	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0)
178	175, 177	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
179	163, 164, 178, 149	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
180	150, 179	jaodan 826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
181	109, 180	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
182	93, 181	impbida 877	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
183	182	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
184		ioran 511	. . . . 5 ⊢ (¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
185	183, 184	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
186		addcl 10018	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
187	13, 1, 186	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
188		atansopn.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
189	188	eleq2i 2693	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
190		eldif 3584	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
191	189, 190	bitri 264	. . . . . 6 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
192	191	baib 944	. . . . 5 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
193	187, 192	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
194		subcl 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
195	13, 104, 194	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
196	188	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197		eldif 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
198	196, 197	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
199	198	baib 944	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
200	195, 199	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
201	188	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
202		eldif 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
203	201, 202	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
204	203	baib 944	. . . . . 6 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
205	144, 204	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
206	200, 205	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
207	185, 193, 206	3bitr4d 300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
208	207	pm5.32i 669	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
209		atansopn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
210	188, 209	atans 24657	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷))
211		3anass 1042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
212	208, 210, 211	3bitr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 {crab 2916 ∖ cdif 3571 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 ici 9938 + caddc 9939 · cmul 9941 -∞cmnf 10072 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 2c2 11070 (,]cioc 12176 ↑cexp 12860 √csqrt 13973

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ioc 12180 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: dvatan 24662

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