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Theorem atans2 24658

Description: It suffices to show that

and

are in the continuity domain of

to show that

is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
atansopn.d	$\$
atansopn.s

**Assertion**
Ref	Expression
atans2	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem atans2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . 13
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
3	2	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . 11 $/\$
4	3	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$
5	2	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . 11 $/\$
6		sqeqor 12978	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
7	5, 6	syldan 487	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
8	4, 7	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
9		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
11	2	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
13		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
15	13, 2, 14	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
17		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
19		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
20	17, 18, 19	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
21	16, 20	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
23		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
24	22, 9, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
25	15, 24	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
26	25	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
27		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
28		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
30		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
31	13, 2, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32	21	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
33	31, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34		suble0 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
35	9, 26, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
36	33, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
37	27, 10, 26, 29, 36	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
38	26, 37	sqrtnegd 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
39	12, 38	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
41		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
43	26, 37	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	42, 42, 44	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	44	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
49	47, 48	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
50	40, 45, 49	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	43	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	10, 52	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . 13
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
57		negsub 10329	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
58	13, 44, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
62	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
63	62	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	36, 61, 63	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	26, 37	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	10, 43, 29, 65	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	64, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	10, 43	suble0d 10618	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
69	67, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	59, 69	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
71		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
72	17, 18, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
73	53, 55, 70, 72	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
76	75	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11
77	73, 76	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 $/\$
78		mulneg2 10467	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79	41, 5, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
81		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
82	41, 5, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
83		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
84	13, 82, 83	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
85	80, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	85, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11
90	86, 89	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 $/\$
91	77, 90	orim12d 883	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $\/$
92	8, 91	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
93	92	orcomd 403	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
94	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
95		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
96	41, 95	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12
97		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . 14
98	97	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
99	1	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . 13
100	98, 99	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12
101	96, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
102	94, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
103		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104	41, 103	mpan 706	. . . . . . . . . . 11
105		subsq 12972	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106	13, 104, 105	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
107	13, 1, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
108	102, 106, 107	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9
109	108	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
110		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	111, 112, 104	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . 14
114		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15
115	114	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
116	113, 115	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
118		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13
119		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
121	17, 18, 120	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
122	119, 121	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
124		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	118, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	117, 125	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127	126, 123	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$
128		mnflt 11957	. . . . . . . . . . 11
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
130	122	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
132	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
133		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
135	110	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . . . . 16
136	123, 131, 132, 130	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
137	135, 136	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
138	137, 117	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
139	131, 132, 126, 134, 138	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
141	123, 131, 126, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	130, 141	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
144	13, 104, 143	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
146	145	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 $/\$
147	142, 146	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 $/\$
148		elioc2 12236	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
149	17, 18, 148	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
150	127, 129, 147, 149	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 $/\$
151		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
152		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
153	17, 18, 152	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
154	151, 153	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
155	154	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 $/\$
156	114	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
157	111, 112, 104	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14
158	156, 157	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . 13
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
160		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
161	118, 155, 160	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
162	159, 161	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 $/\$
163	155, 162	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$
164	163, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
165	154	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
166		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
167	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
168	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	155, 166, 167, 165	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
170	135, 169	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
171	170, 159	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
172	166, 167, 162, 168, 171	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
173		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
174	155, 166, 162, 172, 173	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
175	165, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
176	162	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
177	176	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	175, 177	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	163, 164, 178, 149	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 $/\$
180	150, 179	jaodan 826	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
181	109, 180	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
182	93, 181	impbida 877	. . . . . 6 $\/$
183	182	notbid 308	. . . . 5 $\/$
184		ioran 511	. . . . 5 $\/$ $/\$
185	183, 184	syl6bb 276	. . . 4 $/\$
186		addcl 10018	. . . . . 6 $/\$
187	13, 1, 186	sylancr 695	. . . . 5
188		atansopn.d	. . . . . . . 8 $\$
189	188	eleq2i 2693	. . . . . . 7 $\$
190		eldif 3584	. . . . . . 7 $\$ $/\$
191	189, 190	bitri 264	. . . . . 6 $/\$
192	191	baib 944	. . . . 5
193	187, 192	syl 17	. . . 4
194		subcl 10280	. . . . . . 7 $/\$
195	13, 104, 194	sylancr 695	. . . . . 6
196	188	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 $\$
197		eldif 3584	. . . . . . . 8 $\$ $/\$
198	196, 197	bitri 264	. . . . . . 7 $/\$
199	198	baib 944	. . . . . 6
200	195, 199	syl 17	. . . . 5
201	188	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 $\$
202		eldif 3584	. . . . . . . 8 $\$ $/\$
203	201, 202	bitri 264	. . . . . . 7 $/\$
204	203	baib 944	. . . . . 6
205	144, 204	syl 17	. . . . 5
206	200, 205	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
207	185, 193, 206	3bitr4d 300	. . 3 $/\$
208	207	pm5.32i 669	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
209		atansopn.s	. . 3
210	188, 209	atans 24657	. 2 $/\$
211		3anass 1042	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 210, 211	3bitr4i 292	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

crab 2916 $\$ cdif 3571 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

cioc 12176

cexp 12860

csqrt 13973

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ioc 12180 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: dvatan 24662

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