bgoldbtbndlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem2 41694

Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 41697. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	;
bgoldbtbnd.n	;
bgoldbtbnd.b	Even $/\$ GoldbachEven
bgoldbtbnd.d
bgoldbtbnd.f	RePart
bgoldbtbnd.i	..^ $\$ $/\$ $/\$
bgoldbtbnd.0
bgoldbtbnd.1	;
bgoldbtbnd.l
bgoldbtbndlem2.s

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem2	$/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ Even $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ..^ $\$ $/\$ $/\$
2		elfzoelz 12470	. . . . . . 7 ..^
3		elfzoel2 12469	. . . . . . 7 ..^
4		elfzom1b 12567	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ ..^
5		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ ..^
7	6	sseld 3602	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ ..^
8	4, 7	sylbid 230	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ ..^
9	8	com12 32	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^
10	2, 3, 9	mp2and 715	. . . . . 6 ..^ ..^
11		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 $\$ $\$
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
15	14, 11	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
16	15	breq1d 4663	. . . . . . . 8
17	15	breq2d 4665	. . . . . . . 8
18	12, 16, 17	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
19	18	rspcv 3305	. . . . . 6 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
21	1, 20	syl5com 31	. . . 4 ..^ $\$ $/\$ $/\$
22	21	a1d 25	. . 3 Odd ..^ $\$ $/\$ $/\$
23	22	3imp 1256	. 2 $/\$ Odd $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
24		bgoldbtbndlem2.s	. . . . 5
25		simp2 1062	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^ Odd
26		oddprmALTV 41598	. . . . . . . . 9 $\$ Odd
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ Odd
28	25, 27	anim12i 590	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd
29	28	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd
30		omoeALTV 41596	. . . . . 6 Odd $/\$ Odd Even
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even
32	24, 31	syl5eqel 2705	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even
33	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
34	33	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Odd $/\$ ..^
35		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Odd $/\$ ..^
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Odd $/\$ ..^
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Odd $/\$ ..^
39	38	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Odd $/\$ ..^
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$
41		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
42		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $/\$ $\$
45	44	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $\$ $/\$ $/\$ ..^ $\$
46		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^
47	46	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ ..^ ..^
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $\$
51	50	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ ..^ $\$ $\$
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ ..^ ..^ $\$ $\$
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ ..^ $\$ $\$
54	53	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ $\$ ..^ $\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd ..^ $\$ ..^ $\$
56	55	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $\$ Odd ..^ $\$
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $\$ $/\$ $/\$ Odd ..^ $\$
58	1, 57	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Odd ..^ $\$
59	58	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Odd $/\$ ..^ $\$
60		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
61		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ;
64		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ;
65		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
66		oddz 41544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Odd
67	66	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Odd
68		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
69		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
70		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 69, 71	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
73		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	73, 74	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78, 74	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	71, 69	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
82		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
83	68, 81, 82	lesub1d 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
84	83	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$
88		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltaddsub2 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
90	89	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
91	71, 87, 88, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
92	91	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
93	92	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
97	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
98		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
101	96, 97, 100	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	94, 103	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	75, 79, 80, 85, 104	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
107	72, 106	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
109	108	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
110	67, 109	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Odd
111	110	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Odd
112	65, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd
113	63, 64, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd
114	113	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ Odd
115	114	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Odd $/\$ ..^
116	62, 115	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Odd $/\$ ..^
117	60, 61, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
118	59, 117	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Odd $/\$ ..^
119	43, 118	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Odd $/\$ ..^
120	41, 42, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
121	120	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$
122	40, 121	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$
123	122	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
124	123	com23 86	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
125	124	imp 445	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
126	125	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
127	126	impcom 446	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
128	127	com12 32	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
129	128	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
130	129	impcom 446	. . . . 5 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	24, 130	syl5eqbr 4688	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	70	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . 16
134		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
135	133, 134	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
136	135	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ ..^
137		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138	137	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139	138, 49	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
141	139	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
142	50, 140, 141	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
143	142	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
144	136, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
145	61	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15
146	60, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
147	146	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $/\$
148	144, 147	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$
149	148	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$
150	1, 149	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ..^
151	150	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
152	151	3adant2 1080	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	42	zred 11482	. . . . . . . . . 10
155	41, 154	syl 17	. . . . . . . . 9 $\$
156	155	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$
157	156	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	153, 157	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	67	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^
160		resubcl 10345	. . . . . . . 8 $/\$
161	159, 156, 160	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
162	161	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
164	163	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Odd $/\$ ..^
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Odd $/\$ ..^
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Odd $/\$ ..^
167	166	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 $/\$ Odd $/\$ ..^
168	167	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 $/\$ Odd $/\$ ..^
169	168	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
170	169	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
171	170	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	159	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
174		eluzge3nn 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
177		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 RePart
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ RePart
179	133, 134	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
180		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
181	179, 180	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
182	173, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
183	182	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
184	176, 178, 183	iccpartxr 41355	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
185		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
186	136, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
187	176, 178, 186	iccpartxr 41355	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
188	184, 187	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
189	188	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$
190		elico1 12218	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $/\$
192		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
193	191, 192	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 $/\$ Odd $/\$ ..^
194	193	adantrd 484	. . . . . . . . 9 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$
195	194	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	195	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	153, 172, 157, 196	lesub1dd 10643	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198	132, 158, 162, 171, 197	ltletrd 10197	. . . . 5 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	198, 24	syl6breqr 4695	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	32, 131, 199	3jca 1242	. . 3 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even $/\$ $/\$
201	200	ex 450	. 2 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even $/\$ $/\$
202	23, 201	mpdan 702	1 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ Even $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 $\$ cdif 3571

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c7 11075

cz 11377 ;cdc 11493

cuz 11687

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cprime 15385 RePartciccp 41349 Even ceven 41537 Odd codd 41538 GoldbachEven cgbe 41633

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386 df-iccp 41350 df-even 41539 df-odd 41540

This theorem is referenced by: bgoldbtbndlem4 41696

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