Theorem ccatlid 13369

Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 13330	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 13365	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
3	1, 2	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
4		hash0 13158	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘∅) = 0
5	4	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (0 + (#‘𝑆))
6		lencl 13324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addid2d 10237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
9	5, 8	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
10	9	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) = ((#‘∅) + (#‘𝑆)))
11	10	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(#‘𝑆)) = (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
12	11	fneq2d 5982	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))))
13	3, 12	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)))
14		wrdfn 13319	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
15	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘∅) = 0)
16	15, 9	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
17	16	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
18	17	biimpar 502	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
19		ccatval2 13362	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
20	1, 19	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
21	18, 20	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
22	4	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑥 − (#‘∅)) = (𝑥 − 0)
23		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 11483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	subid1d 10381	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
27	22, 26	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘∅)) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))) = (𝑆‘𝑥))
29	21, 28	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
30	13, 14, 29	eqfnfvd 6314	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   − cmin 10266  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  swrdccat  13493  swrdccat3a  13494  s0s1  13667  gsumccat  17378  frmdmnd  17396  frmd0  17397  efginvrel2  18140  efgcpbl2  18170  frgp0  18173  frgpnabllem1  18276  signstfvneq0  30649  elmrsubrn  31417