Theorem clwlkclwwlklem2fv2 26897

Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	|- F = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv2	|- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( F ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) = ( `' E ` { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } ) )

Distinct variable groups:   x, P   x, E

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> x = ( ( # ` P ) - 2 ) )
4		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. ZZ )
5		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
6	4, 5	jctir 561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) )
7		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` P ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
11	3, 10	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> x e. ZZ )
12	11	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> x e. ZZ ) )
13		zre 11381	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. RR )
15		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 e. RR )
17	14, 16	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR )
19		lttri3 10121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) <-> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) ) )
20	13, 18, 19	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) <-> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) ) )
21		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) )
22	20, 21	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x e. ZZ -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) )
24	12, 23	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) )
25	24	com13 88	. . . . . 6 |- ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) )
26	25	pm2.43i 52	. . . . 5 |- ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
27	26	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) )
28	27	iffalsed 4097	. . 3 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) = ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) )
29		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( P ` x ) = ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
30	29	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( P ` x ) = ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
31	30	preq1d 4274	. . . 4 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } = { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } )
32	31	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) = ( `' E ` { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } ) )
33	28, 32	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x = ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) = ( `' E ` { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } ) )
34	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) )
35	34, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
36	14, 16	subge0d 10617	. . . . 5 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) <-> 2 <_ ( # ` P ) ) )
37	36	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) )
38		elnn0z 11390	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
39	35, 37, 38	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 )
40		nn0ge2m1nn 11360	. . 3 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN )
41		1red 10055	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 1 e. RR )
42	15	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 e. RR )
43	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( # ` P ) e. RR )
44		1lt2 11194	. . . . 5 |- 1 < 2
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 1 < 2 )
46	41, 42, 43, 45	ltsub2dd 10640	. . 3 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) < ( ( # ` P ) - 1 ) )
47		elfzo0 12508	. . 3 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) <-> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` P ) - 2 ) < ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
48	39, 40, 46, 47	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
49		fvexd 6203	. 2 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( `' E ` { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } ) e. _V )
50	2, 33, 48, 49	fvmptd 6288	1 |- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( F ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) = ( `' E ` { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  26898