Theorem cnfldmulg 19778

Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmulg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		cnfldbas 19750	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfld0 19770	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
19	16, 17, 18	mulg0 17546	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20		mul02 10214	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21	19, 20	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23		cnring 19768	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		ringmnd 18556	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
26		cnfldadd 19751	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
27	16, 18, 26	mulgnn0p1 17552	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
28	25, 27	mp3an1 1411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29		nn0cn 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
32		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	adddird 10065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
34		mulid2 10038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
37	33, 36	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
38	28, 37	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
39	22, 38	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
40	39	expcom 451	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
41		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
42		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
43	16, 18, 42	mulgnegnn 17551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
44		nncn 11028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
45		mulneg1 10466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
46	44, 45	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
47		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	44, 47	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
49		cnfldneg 19772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
51	46, 50	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
52	43, 51	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
53	41, 52	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
54	53	expcom 451	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
55	3, 6, 9, 12, 15, 21, 40, 54	zindd 11478	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
56	55	impcom 446	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  Mndcmnd 17294  inv_gcminusg 17423  ._gcmg 17540  Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  zsssubrg  19804  zringmulg  19826  zringcyg  19839  mulgrhm2  19847  remulg  19953  amgmlem  24716  cnzh  30014  rezh  30015