Theorem cntnevol 30291

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10005	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 4912	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6207	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
6		1re 10039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 13159	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (#‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘{1}) = 1
9	5, 8	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4339	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 23263	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 23303	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 23298	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 2871	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6190	. . . 4 ⊢ ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2826	. . 3 ⊢ (((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 527	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4164	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 13129	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 10035	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4316	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 292	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 310	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 266	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 2890	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 225	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 2849	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5324	. . . 4 ⊢ ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2826	. . 3 ⊢ (dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 176	1 ⊢ (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  #chash 13117  vol*covol 23231  volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by: (None)