Theorem cntnevol 30291

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	|- ( # |` ~P O ) =/= vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10005	. . . . 5 |- 1 =/= 0
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( 1 e. O -> 1 =/= 0 )
3		snelpwi 4912	. . . . . 6 |- ( 1 e. O -> { 1 } e. ~P O )
4		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( { 1 } e. ~P O -> ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) = ( # ` { 1 } ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( 1 e. O -> ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) = ( # ` { 1 } ) )
6		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
7		hashsng 13159	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> ( # ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` { 1 } ) = 1
9	5, 8	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( 1 e. O -> ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) = 1 )
10		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR -> { 1 } C_ RR )
11		ovolsn 23263	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR -> ( vol* ` { 1 } ) = 0 )
12		nulmbl 23303	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } C_ RR /\ ( vol* ` { 1 } ) = 0 ) -> { 1 } e. dom vol )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> { 1 } e. dom vol )
14		mblvol 23298	. . . . . . 7 |- ( { 1 } e. dom vol -> ( vol ` { 1 } ) = ( vol* ` { 1 } ) )
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( vol* ` { 1 } ) = 0
16	14, 15	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( { 1 } e. dom vol -> ( vol ` { 1 } ) = 0 )
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 |- ( vol ` { 1 } ) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( 1 e. O -> ( vol ` { 1 } ) = 0 )
19	2, 9, 18	3netr4d 2871	. . 3 |- ( 1 e. O -> ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) =/= ( vol ` { 1 } ) )
20		fveq1 6190	. . . 4 |- ( ( # |` ~P O ) = vol -> ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) = ( vol ` { 1 } ) )
21	20	necon3i 2826	. . 3 |- ( ( ( # |` ~P O ) ` { 1 } ) =/= ( vol ` { 1 } ) -> ( # |` ~P O ) =/= vol )
22	19, 21	syl 17	. 2 |- ( 1 e. O -> ( # |` ~P O ) =/= vol )
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1 } e. dom vol
24	23	biantrur 527	. . . . . 6 |- ( -. { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) <-> ( { 1 } e. dom vol /\ -. { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) ) )
25		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { 1 } e. _V
26	25	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( { 1 } e. ~P O <-> { 1 } C_ O )
27		dmhashres 13129	. . . . . . . . 9 |- dom ( # |` ~P O ) = ~P O
28	27	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) <-> { 1 } e. ~P O )
29		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
30	29	snss 4316	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. O <-> { 1 } C_ O )
31	26, 28, 30	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) <-> 1 e. O )
32	31	notbii 310	. . . . . 6 |- ( -. { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) <-> -. 1 e. O )
33	24, 32	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( { 1 } e. dom vol /\ -. { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) ) <-> -. 1 e. O )
34		nelne1 2890	. . . . 5 |- ( ( { 1 } e. dom vol /\ -. { 1 } e. dom ( # |` ~P O ) ) -> dom vol =/= dom ( # |` ~P O ) )
35	33, 34	sylbir 225	. . . 4 |- ( -. 1 e. O -> dom vol =/= dom ( # |` ~P O ) )
36	35	necomd 2849	. . 3 |- ( -. 1 e. O -> dom ( # |` ~P O ) =/= dom vol )
37		dmeq 5324	. . . 4 |- ( ( # |` ~P O ) = vol -> dom ( # |` ~P O ) = dom vol )
38	37	necon3i 2826	. . 3 |- ( dom ( # |` ~P O ) =/= dom vol -> ( # |` ~P O ) =/= vol )
39	36, 38	syl 17	. 2 |- ( -. 1 e. O -> ( # |` ~P O ) =/= vol )
40	22, 39	pm2.61i 176	1 |- ( # |` ~P O ) =/= vol

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   #chash 13117   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by: (None)