Theorem mblvol 23298

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 23296	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6192	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2668	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  vol*covol 23231  volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fv 5896  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volss  23301  volun  23313  volinun  23314  volfiniun  23315  voliunlem3  23320  volsup  23324  iccvolcl  23335  ovolioo  23336  volioo  23337  ioovolcl  23338  uniioovol  23347  uniioombllem4  23354  volcn  23374  volivth  23375  vitalilem4  23380  i1fima2  23446  i1fd  23448  i1f0rn  23449  itg1val2  23451  itg1ge0  23453  itg11  23458  i1fadd  23462  i1fmul  23463  itg1addlem2  23464  itg1addlem4  23466  i1fres  23472  itg10a  23477  itg1ge0a  23478  itg1climres  23481  mbfi1fseqlem4  23485  itg2const2  23508  itg2gt0  23527  itg2cnlem2  23529  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  itgulm  24162  areaf  24688  cntnevol  30291  volmeas  30294  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  itg2addnclem  33461  itg2addnclem2  33462  itg2gt0cn  33465  ftc1cnnclem  33483  ftc1anclem7  33491  areacirc  33505  arearect  37801  areaquad  37802  vol0  40175  volge0  40177  volsn  40183  volicc  40215  vonvol  40876