Theorem cphnmf 22995

Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmsq.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmf	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem cphnmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphphl 22971	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
4		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
5		cphnmcl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		nmsq.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		nmsq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		cphnmcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	ipcl 19978	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
10	3, 4, 4, 9	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
11		nmsq.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	7, 6, 11	nmsq 22994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
13		cphngp 22973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14	7, 11	nmcl 22420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
15	13, 14	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	resqcld 13035	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) ∈ ℝ)
17	12, 16	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
18	15	sqge0d 13036	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝑥)↑2))
19	18, 12	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
20	5, 8	cphsqrtcl 22984	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
21	1, 10, 17, 19, 20	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
22		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
23	21, 22	fmptd 6385	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶𝐾)
24	7, 6, 11	cphnmfval 22992	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
25	24	feq1d 6030	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑁:𝑉⟶𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶𝐾))
26	23, 25	mpbird 247	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075  2c2 11070  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944  ·_𝑖cip 15946  PreHilcphl 19969  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  ℂPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  cphnmcl  22996