Theorem fzss1 12380

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12338	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uztrn 11704	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anr 495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		elfzuz3 12339	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		elfzuzb 12336	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9	8	ex 450	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
10	9	ssrdv 3609	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzssnn  12385  fzp1ss  12392  ige2m1fz  12430  fzoss1  12495  fzossnn0  12499  sermono  12833  seqsplit  12834  seqf1olem2  12841  seqz  12849  bcpasc  13108  seqcoll2  13249  swrd0fv0  13440  swrd0fvlsw  13443  swrdswrd  13460  swrdccatin2  13487  swrdccatin12lem2c  13488  swrdccatin12  13491  mertenslem1  14616  reumodprminv  15509  prmgaplcmlem1  15755  structfn  15874  strleun  15972  efgsres  18151  efgredlemd  18157  efgredlem  18160  chfacfpmmulgsum2  20670  cpmadugsumlemF  20681  ply1termlem  23959  dvply1  24039  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  basellem5  24811  ppisval2  24831  ppiltx  24903  chtlepsi  24931  chtublem  24936  chpub  24945  gausslemma2dlem3  25093  2lgslem1a  25116  chtppilimlem1  25162  pntlemq  25290  pntlemf  25294  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  axlowdim  25841  crctcshwlkn0lem3  26704  esumpmono  30141  ballotlem2  30550  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemfrci  30589  ballotlemfrceq  30590  fsum2dsub  30685  chtvalz  30707  bcprod  31624  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem14  33423  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  poimirlem27  33436  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  fdc  33541  jm2.23  37563  stoweidlem11  40228  elaa2lem  40450  iccpartgel  41365  pfxfv0  41400  pfxfvlsw  41403  pfxccatin12  41425  pfxccatpfx2  41428