Theorem crctcshwlkn0lem3 26704

Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	|- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
crctcshwlkn0lem.q	|- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem3	|- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` J ) = ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, N   x, P   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   Q( x)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . . 4 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) ) )
3		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = J -> ( x <_ ( N - S ) <-> J <_ ( N - S ) ) )
4		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = J -> ( x + S ) = ( J + S ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = J -> ( P ` ( x + S ) ) = ( P ` ( J + S ) ) )
6	4	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = J -> ( ( x + S ) - N ) = ( ( J + S ) - N ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = J -> ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) = ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) )
8	3, 5, 7	ifbieq12d 4113	. . . 4 |- ( x = J -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
9	8	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) /\ x = J ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
10		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
11		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> 0 e. ZZ )
12		elfzoel2 12469	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> N e. ZZ )
13		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ZZ )
14	12, 13	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( N - S ) e. ZZ )
15	14	peano2zd 11485	. . . . . . 7 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ )
16		elfzo1 12517	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( 1..^ N ) <-> ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) )
17		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. NN -> S e. RR )
18		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
19		posdif 10521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( S < N <-> 0 < ( N - S ) ) )
20		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> 0 e. RR )
21		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ S e. RR ) -> ( N - S ) e. RR )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( N - S ) e. RR )
23		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N - S ) e. RR ) -> ( 0 < ( N - S ) -> 0 <_ ( N - S ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < ( N - S ) -> 0 <_ ( N - S ) ) )
25	22	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( N - S ) <_ ( ( N - S ) + 1 ) )
26		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> 1 e. RR )
27	22, 26	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. RR )
28		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N - S ) e. RR /\ ( ( N - S ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( N - S ) /\ ( N - S ) <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
29	20, 22, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( N - S ) /\ ( N - S ) <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
30	25, 29	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - S ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
31	24, 30	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < ( N - S ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
32	19, 31	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( S < N -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
33	17, 18, 32	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( S < N -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
34	33	3impia 1261	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) )
35	16, 34	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) )
36		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N - S ) + 1 ) ) )
37	11, 15, 35, 36	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38	10, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
39		fzss1 12380	. . . . 5 |- ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
41	40	sselda 3603	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
42		fvex 6201	. . . . 5 |- ( P ` ( J + S ) ) e. _V
43		fvex 6201	. . . . 5 |- ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) e. _V
44	42, 43	ifex 4156	. . . 4 |- if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) e. _V
45	44	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) e. _V )
46	2, 9, 41, 45	fvmptd 6288	. 2 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` J ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
47		elfz2 12333	. . . . . 6 |- ( J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J /\ J <_ N ) ) )
48		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ZZ -> S e. RR )
49		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
50		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
51	49, 50	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J e. RR /\ N e. RR ) )
52		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> N e. RR )
53		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> S e. RR )
54	52, 53	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( N - S ) e. RR )
55	54	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( N - S ) < ( ( N - S ) + 1 ) )
56		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> 1 e. RR )
57	54, 56	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. RR )
58		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. RR /\ N e. RR ) -> J e. RR )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> J e. RR )
60		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N - S ) e. RR /\ ( ( N - S ) + 1 ) e. RR /\ J e. RR ) -> ( ( ( N - S ) < ( ( N - S ) + 1 ) /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ J ) -> ( N - S ) < J ) )
61	54, 57, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( ( N - S ) < ( ( N - S ) + 1 ) /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ J ) -> ( N - S ) < J ) )
62	55, 61	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> ( N - S ) < J ) )
63	54, 59	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( N - S ) < J <-> -. J <_ ( N - S ) ) )
64	62, 63	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. RR /\ ( J e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) )
65	48, 51, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) )
66	65	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( S e. ZZ -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
67	66	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( S e. ZZ -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
68	67	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( S e. ZZ -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
69	68	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ZZ -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
70	13, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
71	70	com13 88	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J /\ J <_ N ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> -. J <_ ( N - S ) ) ) )
73	72	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J /\ J <_ N ) ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> -. J <_ ( N - S ) ) )
74	73	com12 32	. . . . . 6 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( N - S ) + 1 ) <_ J /\ J <_ N ) ) -> -. J <_ ( N - S ) ) )
75	47, 74	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) -> -. J <_ ( N - S ) ) )
76	10, 75	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) -> -. J <_ ( N - S ) ) )
77	76	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> -. J <_ ( N - S ) )
78	77	iffalsed 4097	. 2 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) = ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) )
79	46, 78	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ J e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` J ) = ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0lem6  26707